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Analysis » Rationale und reelle Zahlen » Abschluss der rationalen Zahlen gleich den reellen Zahlen?
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Universität/Hochschule J Abschluss der rationalen Zahlen gleich den reellen Zahlen?
Farbspiel
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  Themenstart: 2022-08-15

Der Abschluss $\overline {M}$ einer Menge $M$ ist bei uns so definiert: $\overline {M}$ ist die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in $M$ liegen. So, jetzt lautet die Behauptung: $\overline {\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$ Beweis: (i) $\overline {\mathbb{Q}}\supset\mathbb{R}$ Das folgt direkt aus einem bereits bewiesenen Satz, dass zu jedet reellen Zahl $x$ eine rationale Folge existiert, welche gegen $x$ konvergiert. (ii) $\overline {\mathbb{Q}}\subset\mathbb{R}$ Das wirkt trivial, aber wie kann man begründen, dass es keine Folge gibt, welche gegen ein $x\notin\mathbb{Q}$ und $x\notin\mathbb{R}$ konvergiert?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-15

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, so lange du dich in $\mathbb R$ befindest und $\mathbb R$ mit der Standardtopologie versiehst, dann stimmt die Aussage, wenn man $\mathbb Q$ als Teilmenge von $\mathbb R$ betrachtet. Man spricht auch davon, dass $\mathbb Q$ dicht in $\mathbb R$ liegt. Zu deiner Frage: Wie soll denn eine Folge rationaler Zahlen innerhalb der reellen Zahlen gegen etwas konvergieren, das keine reelle Zahl ist? Per definitionem ist der Grenzwert einer in $\mathbb R$ konvergenten Folge eine reelle Zahl. (Eine Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ heißt konvergent, wenn es eine reelle Zahl $a\in \mathbb R$ gibt, so dass...) Unabhängig von der konkreten Situation gilt das aber immer: Ist $(X,\mathcal T)$ ein topologischer Raum und $A\subseteq X$, dann gilt $\overline A\subseteq X$. In dieser allgemeinen Situation ist $\overline A$ definiert als der Durchschnitt aller in $X$ abgeschlossenen Mengen, die $A$ enthalten. In vielen wichtigen Spezialfällen (z.B. in metrischen Räumen) stimmt das mit der Menge aller Grenzwerte konvergenter Folgen mit Gliedern in $A$ überein. LG Nico\(\endgroup\)


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Farbspiel
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

\quoteon(2022-08-15 06:10 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Zu deiner Frage: Wie soll denn eine Folge rationaler Zahlen innerhalb der reellen Zahlen gegen etwas konvergieren, das keine reelle Zahl ist? Per definitionem ist der Grenzwert einer in $\mathbb R$ konvergenten Folge eine reelle Zahl. (Eine Folge reeller Zahlen $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ heißt konvergent, wenn es eine reelle Zahl $a\in \mathbb R$ gibt, so dass...) \quoteoff Danke :) Habe versehentlich den "Thema erledigt" Haken aktiviert. Also mein Problem ist, dass in unserem Skript die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt wurden, die rationalen Zahlen tauchen dann plötzlich gefühlt aus dem Nichts auf. Ich schätze es ist implizit klar, dass diese eine Teilmenge von den reellen Zahlen sind - ok. Man kann aber bspw eine Teilemenge der rationalen Zahlen so konstruieren, dass sie gegen eine irrationale reelle Zahl konvergiert. Wo ich mir jetzt nicht sicher war, ist, ob das Selbe auch für eine rationale Teilemenge der reller Zahlen gelten kann z.B. eine rationale Folge die gegen $\sqrt{-1}$ konvergiert. Ist es möglich eine rationale Folge zu kontruieren, s.d. der Grenzwert nicht mehr in den reellen Zahlen enthalten ist? Bei den reellen Zahlen könnte man z.B. folgende reelle Folge betrachten: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n}-1}=\sqrt{-1}\notin\mathbb{R}$ PS: Ich kenne mich mit dem Begriff der Topologie noch nicht aus, werde mir deine Antwort für die Aufbauvorlesung merken.


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michfei
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-16

Hallo Farbspiel, \quoteon(2022-08-16 20:36 - Farbspiel in Beitrag No. 2) Ist es möglich eine rationale Folge zu kontruieren, s.d. der Grenzwert nicht mehr in den reellen Zahlen enthalten ist? \quoteoff Dies ist in der Tat möglich. Betrachte zum Beispiel \(a_n := n\) für ein \(n \in \IN\), dann ist \((a_n)_{n \in \IN}\) eine rationale Folge, welche nicht in \(\IR\) konvergiert. \quoteon(2022-08-16 20:36 - Farbspiel in Beitrag No. 2) Bei den reellen Zahlen könnte man z.B. folgende reelle Folge betrachten: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n}-1}=\sqrt{-1}\notin\mathbb{R}$ \quoteoff Dieses Beispiel hinkt, denn \(a_n \notin \IR\) für \(n \geq 2\), d.h. \((a_n)_{n \in \IN}\) ist keine reelle Folge. LG


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Farbspiel
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Dies ist in der Tat möglich. Betrachte zum Beispiel \(a_n := n\) für ein \(n \in \IN\), dann ist \((a_n)_{n \in \IN}\) eine rationale Folge, welche nicht in \(\IR\) konvergiert. \quoteon(2022-08-16 20:36 - Farbspiel in Beitrag No. 2) Bei den reellen Zahlen könnte man z.B. folgende reelle Folge betrachten: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n}-1}=\sqrt{-1}\notin\mathbb{R}$ \quoteoff Dieses Beispiel hinkt, denn \(a_n \notin \IR\) für \(n \geq 2\), d.h. \((a_n)_{n \in \IN}\) ist keine reelle Folge. LG \quoteoff Danke, da habe ich bei meinen Fragen und Beispielen versagt. \quoteon(2022-08-16 20:36 - Farbspiel in Beitrag No. 2) Ist es möglich eine rationale Folge zu kontruieren, s.d. der Grenzwert nicht mehr in den reellen Zahlen enthalten ist? \quoteoff Hier hätte ich explizit uneigentliche Grenzwerte ausschließen sollen. \quoteon(2022-08-16 20:36 - Farbspiel in Beitrag No. 2) Bei den reellen Zahlen könnte man z.B. folgende reelle Folge betrachten: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n}-1}=\sqrt{-1}\notin\mathbb{R}$ \quoteoff Das Beispiel ist, wie @michfei sagt, natürlich falsch, da tatsächlich nur ein Folgenglied eine reelle Zahl ist (facepalm). Ein korrektes Beispiel fällt mir nicht.


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Farbspiel
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

Danke, da habe ich bei meinen Fragen und Beispielen versagt. \quoteon(2022-08-16 20:36 - Farbspiel in Beitrag No. 2) Ist es möglich eine rationale Folge zu kontruieren, s.d. der Grenzwert nicht mehr in den reellen Zahlen enthalten ist? \quoteoff Hier hätte ich explizit uneigentliche Grenzwerte ausschließen sollen. \quoteon(2022-08-16 20:36 - Farbspiel in Beitrag No. 2) Bei den reellen Zahlen könnte man z.B. folgende reelle Folge betrachten: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{n}-1}=\sqrt{-1}\notin\mathbb{R}$ \quoteoff Das Beispiel ist, wie @michfei sagt, natürlich falsch, da tatsächlich nur ein Folgenglied eine reelle Zahl ist (facepalm). Ein korrektes Beispiel fällt mir nicht. \quoteoff


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michfei
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-08-16

Was sind denn "uneigentliche Grenzwerte"? \quoteon(2022-08-16 20:55 - michfei in Beitrag No. 3) Dies ist in der Tat möglich. Betrachte zum Beispiel \(a_n := n\) für ein \(n \in \IN\), dann ist \((a_n)_{n \in \IN}\) eine rationale Folge, welche nicht in \(\IR\) konvergiert. \quoteoff Diese Folge konvergiert zwar nicht in \(\IR\), aber dafür in den erweiterten reellen Zahlen \(\overline{\IR} := \IR \cup \{\pm \infty\}\).


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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, ich verstehe dein Anliegen trotzdem nicht. Bei der entsprechenden Definition des Abschlusses einer Menge wird explizit von in $\mathbb R$ konvergenten Folgen ausgegangen. Es stellt sich bei dieser Konstruktion also gar nicht die Frage, ob potenzielle nicht reelle Grenzwerte auftreten können, da das von vorne herein ausgeschlossen wird. Abgesehen davon, kann es solch eine Folge, nach deren Existenz du dich fragst, aus rein syntaktischen Gründen nicht geben. Entweder die Folge konvergiert und besitzt dann nach der jeweiligen Definition der Konvergenz eine reelle Zahl als Grenzwert, oder sie ist divergent. Eine weitere Möglichkeit ist hier nicht vorgesehen, wenn man die uneigentliche Konvergenz ausschließt. Sieh es vielleicht so: In deiner konkreten Situation ist $\mathbb R$ das gesamte "Universum" der Aufgabenstellung. Alles spielt sich darin ab. Es gibt außer $\mathbb R$ nichts mehr. Es erübrigt sich dann die Frage nach anderen Grenzwerten, weil es in dieser Situation nichts anderes mehr gibt. @michfei: Damit bezeichnet man manchmal den Sachverhalt, dass eine Folge bestimmt gegen $\pm\infty$ divergiert. Man spricht dann bei $\pm\infty$ von uneigentlichen Grenzwerten. Auch die Grenzbetrachtung $x\to\pm\infty$ bei einer reellen Funktion wird manchmal als "uneigentlich" bezeichnet. Prominent taucht diese Bezeichnung auch bei Integralen mit diesen Symbolen als Integrationsgrenzen auf. LG Nico\(\endgroup\)


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michfei
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-16

Vielen Dank, Nico! Den Begriff kannte ich in diesem Kontext tatsächlich nicht. \quoteon(2022-08-16 21:27 - nzimme10 in Beitrag No. 7) Abgesehen davon, kann es solch eine Folge, nach deren Existenz du dich fragst, aus rein syntaktischen Gründen nicht geben. Entweder die Folge konvergiert und besitzt dann nach der jeweiligen Definition der Konvergenz eine reelle Zahl als Grenzwert, oder sie ist divergent. Eine weitere Möglichkeit ist hier nicht vorgesehen, wenn man die uneigentliche Konvergenz ausschließt. Sieh es vielleicht so: In deiner konkreten Situation ist $\mathbb R$ das gesamte "Universum" der Aufgabenstellung. Alles spielt sich darin ab. Es gibt außer $\mathbb R$ nichts mehr. Es erübrigt sich dann die Frage nach anderen Grenzwerten, weil es in dieser Situation nichts anderes mehr gibt. \quoteoff Ich habe die Frage wie folgt verstanden: Existiert ein topologischer Raum X mit \(\IR \subseteq X\) und eine konvergente Folge \((a_n)_{n \in \IN}\) in \(X\), sodass \(a_n \in \IR\) für alle \(n \in \IN\), wohingegen der Grenzwert ist nicht in \(\IR\) ist?


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nzimme10
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-08-16 21:58 - michfei in Beitrag No. 8) Ich habe die Frage wie folgt verstanden: Existiert ein topologischer Raum X mit \(\IR \subseteq X\) und eine konvergente Folge \((a_n)_{n \in \IN}\) in \(X\), sodass \(a_n \in \IR\) für alle \(n \in \IN\), wohingegen der Grenzwert ist nicht in \(\IR\) ist? \quoteoff Ich habe es ähnlich verstanden. Wobei die Frage aus dem Themenstart in der Situation $X=\mathbb R$ und $\mathbb Q\subseteq \mathbb R$ gestellt wurde. Die Frage war dann, ob es eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen ein Objekt außerhalb von $\mathbb R$ konvergiert. Und diese Fragestellung ergibt in dieser Situation eigentlich keinen Sinn. LG Nico\(\endgroup\)


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michfei
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-08-17

\quoteon(2022-08-16 21:58 - michfei in Beitrag No. 8) Ich habe die Frage wie folgt verstanden: Existiert ein topologischer Raum X mit \(\IR \subseteq X\) und eine konvergente Folge \((a_n)_{n \in \IN}\) in \(X\), sodass \(a_n \in \IR\) für alle \(n \in \IN\), wohingegen der Grenzwert ist nicht in \(\IR\) ist? \quoteoff Hoppla, ich meinte natürlich, ob ein topologischer Raum X mit \(\IR \subseteq X\) und eine konvergente Folge \((a_n)_{n \in \IN}\) in \(X\) existiert, sodass \(a_n \in \IQ\) für alle \(n \in \IN\), wohingegen der Grenzwert nicht in \(\IR\) ist. Danke für den Hinweis! Aber ja, Nico hat Recht. Da im Startpost bereits \(X= \IR\) gewählt wurde, macht die Frage von Farbspiel in diesem Kontext wenig Sinn.


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Farbspiel
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-17

Vielen Dank nochmal für eure Mühe :) \quoteon(2022-08-16 22:06 - nzimme10 in Beitrag No. 9) Die Frage war dann, ob es eine Folge rationaler Zahlen gibt, die gegen ein Objekt außerhalb von $\mathbb R$ konvergiert. Und diese Fragestellung ergibt in dieser Situation eigentlich keinen Sinn. \quoteoff So meinte ich es. \quoteon(2022-08-16 21:27 - nzimme10 in Beitrag No. 7) Sieh es vielleicht so: In deiner konkreten Situation ist $\mathbb R$ das gesamte "Universum" der Aufgabenstellung. Alles spielt sich darin ab. Es gibt außer $\mathbb R$ nichts mehr. Es erübrigt sich dann die Frage nach anderen Grenzwerten, weil es in dieser Situation nichts anderes mehr gibt. \quoteoff Das ist sehr hilfreich. Meine Frage war zugegebenerweise schlecht gestellt, da ich meine Irritation nicht richtig identifizieren konnte. Irgendwie dachte ich, dass man zunächst beweisen müsste, dass es keine rationale Folge geben kann, welche gegen einen Wert außerhalb der Menge der reellen Zahlen konvergiert. \quoteon(2022-08-15 06:10 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Unabhängig von der konkreten Situation gilt das aber immer: Ist $(X,\mathcal T)$ ein topologischer Raum und $A\subseteq X$, dann gilt $\overline A\subseteq X$.In dieser allgemeinen Situation ist $\overline A$ definiert als der Durchschnitt aller in $X$ abgeschlossenen Mengen, die $A$ enthalten. \quoteoff Mit der Definiton des Abschluss als Durchschnitt aller in $X$ abgeschlossenen Teilmengen von $X$ bzw. $\mathbb{R}$, welche $A$ bzw. $\mathbb{Q}$ enthalten, ergibt $\overline A\subseteq X$ bzw. $\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{R}$ sofort Sinn für mich. Ich muss mir nochmal klar machen, warum bei metrischen Räumen die Definition äquivalent zu der von mir angegebenen ist: $\overline {A}$ ist die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in $A$ liegen. Ansatz: Das eine Folge $(a_n)\subset A$ mit $A\subset \mathbb{R}$ gegen $a\in\mathbb{R}$ konvergiert, bedeutet insbesondere, dass zu jedem $\epsilon>0$ ein $N\in\mathbb{N}$ existiert, s.d. für alle $n\geq N$ gilt: $a_n\in U_{\epsilon}(a)$. Es ist also $U_{\epsilon}(a)\subset A$. So eine richtige Idee habe ich nicht, aber ich habe noch nicht mit den "$\epsilon$-Definitionen" von abegschlossenen bzw. offenen Mengen beschäftigt, da das nicht in der Vorlesung vorkam. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]


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nzimme10
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-08-17 02:18 - Farbspiel in Beitrag No. 11) Mit der Definiton des Abschluss als Durchschnitt aller in $X$ abgeschlossenen Teilmengen von $X$ bzw. $\mathbb{R}$, welche $A$ bzw. $\mathbb{Q}$ enthalten, ergibt $\overline A\subseteq X$ bzw. $\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathbb{R}$ sofort Sinn für mich. Ich muss mir nochmal klar machen, warum bei metrischen Räumen die Definition äquivalent zu der von mir angegebenen ist: $\overline {A}$ ist die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in $A$ liegen. \quoteoff Das kommt eben auch auf die Definition von "abgeschlossen" an. Ist man in einem metrischen Raum $(X,d)$ (z.B. $X=\mathbb R$ und $d(x,y)=|x-y|$ für die Situation aus dem Themenstart), dann kann man "abgeschlossen" wie folgt definieren: Eine Teilmenge $A\subseteq X$ heißt abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Gliedern in $A$ ebenfalls in $A$ liegt. Alternativ kann man aber auch zunächst den Begriff der offenen Menge definieren: Eine Teilmenge $U\subseteq X$ heißt offen, wenn es für jedes $x\in U$ ein $r>0$ gibt, so dass $B_r(x)\subseteq U$ gilt, wobei $$ B_r(x):=\lbrace y\in X\mid d(x,y)Behauptung: $A\subseteq X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $X\setminus A$ offen ist. "$\Longrightarrow$": Sei $A\subseteq X$ abgeschlossen. Angenommen $X\setminus A$ wäre nicht offen. Dann gibt es ein $x\in X\setminus A$ derart, dass $B_\varepsilon(x)\cap A\neq \emptyset$ für alle $\varepsilon>0$ gilt (warum?). Für jedes $n\in \mathbb N$ finden wir daher ein $x_n\in A$ derart, dass $$ x_n\in B_{1/n}(x) $$ gilt. Nach dem Axiom der abzählbaren Auswahl definiert das eine Folge $(x_n)_{n\in \mathbb N}$. Man sieht schnell ein, dass $x_n\to x$ für $n\to \infty$ gilt. Da $A$ abgeschlossen ist und $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ eine Folge in $A$ ist folgt, dass $x\in A$ gelten muss im Widerspruch zu $x\notin A$. "$\Longleftarrow$": Sei nun $X\setminus A$ offen und $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ eine konvergente Folge in $A$ mit Grenzwert $x\in X$. Angenommen es wäre $x\notin A$ (also $x\in X\setminus A$). Da $X\setminus A$ offen ist, gibt es ein $\varepsilon>0$ derart, dass $B_\varepsilon(x)\subseteq X\setminus A$ gilt. Dann können aber nicht fast alle Folgeglieder von $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ in $B_\varepsilon(x)$ liegen, im Widerspruch dazu, dass $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ gegen $x$ konvergiert. Also muss $A$ abgeschlossen sein. Damit ist auch die allgemeine Definition von "abgeschlossen" als Komplement von "offen" motiviert. Egal von welcher der beiden Definitionen man in dieser Situation ausgeht, ist die folgende Definition nun sinnvoll: Der Abschluss $\overline B$ einer Teilmenge $B\subseteq X$ ist die kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, die $B$ enthält, also $$ \overline B:=\bigcap \lbrace A\supseteq B\mid A\subseteq X \text{ abgeschlossen}\rbrace. $$ Nun kannst du ja mal versuchen zu zeigen, dass $\overline B$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen mit Gliedern in $B$ ist. LG Nico\(\endgroup\)


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Gestath
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-08-17

Hallo, \quoteon Also mein Problem ist, dass in unserem Skript die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt wurden, die rationalen Zahlen tauchen dann plötzlich gefühlt aus dem Nichts auf. \quoteoff ich vermute, die reellen Zahlen wurden so wie hier eingeführt. https://mathepedia.de/Axiomensystem.html also mit Körperaxiomen, Anordnungsaxiomen und Vollständigkeitsaxiomen. Die rationalen Zahlen könnte man dann als kleinsten Teilkörper, der 1 enthält, definieren. Dann macht die Frage, ob \IQ^-\subsetequal\ \IR schon Sinn. Ist das der Kontext der Aufgabe? Edit: evtl muss man aber deinen verwendeten Begriff "konvergente Folge" durch "Cauchyfolge" ersetzen. MfG Gestath


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nzimme10
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  Beitrag No.14, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-08-17 18:00 - Gestath in Beitrag No. 13) Dann macht die Frage, ob \IQ^-\subsetequal\ \IR schon Sinn. \quoteoff Das ist doch völlig unabhängig davon, wie man die rationalen Zahlen konkret definiert. So lange man $\mathbb Q$ für diese Fragestellung als Teilmenge von $\mathbb R$ betrachtet, erübrigt sich die Frage danach, ob konvergente Folgen mit Gliedern in $\mathbb Q$ einen Grenzwert außerhalb von $\mathbb R$ haben können. Die Frage erübrigt sich per definitionem. Für die in der Definition des Abschlusses betrachteten konvergenten Folgen wird in der Definition des Abschlusses gefordert, dass sie eine reelle Zahl als Grenzwert besitzen. Man spricht nicht umsonst vom "Abschluss in $\mathbb R$" oder "bezüglich $\mathbb R$". Zudem hat eigentlich niemand behauptet, dass diese Frage keinen Sinn ergibt oder es eine unnötige Frage ist oder dergleichen. Ich persönlich habe lediglich angemerkt, dass es in der konkreten Situation keinen Sinn ergibt danach zu fragen, ob der Grenzwert einer konvergenten Folge rationaler Zahlen außerhalb von $\mathbb R$ liegen kann, weil diese Möglichkeit bereits durch den Begriff der Konvergenz (jedenfalls derjenige, der für die Definition des Abschlusses hergenommen wird) ausgeschlossen wird. LG Nico\(\endgroup\)


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Gestath
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-08-17

Hallo nzimme10, ja, das ist mir auch aufgefallen - siehe mein Edit. Der Punkt ist, dass von konvergenten Folgen gesprochen wird und dann muss man natürlich auch den "Grundraum", in dem etwas konvergiert, festlegen. Bei der Betrachtung von Cauchyfolgen in Q (wie definiert in 13) wäre die Fragestellung allerdings berechtigt, ob diese gegen eine reelle Zahl konvergieren (mit der ax. Def.). Das erscheint mir auch als sinnvolle Fragestellung. MfG Stefan Edit: vielleicht ist es auch anders gemeint: einerseits hab ich die axioamtisch definierten reellen Zahlen und daraus hol ich mir die rationalen Zahlen als kleinsten Teilkörper. Dann mach ich mit den rationalen Zahlen die Vervollständigung über Cauchyfolgen und soll beweisen, dass ich wieder die reellen Zahlen erhalte (bzw. etwas Isomorphes)


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nzimme10
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Man kann sich auch Gedanken darüber machen, inwiefern die jeweiligen Definitionen "gut" sind oder sich über philosophische Aspekte in dieser Hinsicht Gedanken machen. Das finde ich auch alles sinnvoll. Bei deiner Anmerkung zu Cauchy-Folgen hat man aber wieder das gleiche "Problem". Wenn man sich nach deren Konvergenz fragt, dann muss man a priori einen Konvergenzbegriff festlegen. Und die "typischen" Konvergenzdefinitionen enthalten dann auch bereits die Information, von welcher Bauart ein solcher Grenzwert sein muss. Aber wenn man dann in einer konkreten Situation ist und konkrete Definitionen verwendet, dann sollte man die Fragestellung nicht so "aufblasen". Der Abschluss ist hier eine Teilmenge von $\mathbb R$, einfach weil er es nach Definition ist. Hier sollte man sich selbst dann nicht unbedingt verwirren. Edit: Ja, dein Edit im letzten Beitrag ist eine ganz andere Frage und nicht unbedingt, wovon hier gerade die Rede ist. Dennoch ist diese andere Frage natürlich sehr interessant. Ich verstehe es so, dass wir in der Situation sind die reellen Zahlen bereits zu haben und die rationalen Zahlen als Teilmenge zu betrachten. Dann wird sich über den topologischen Abschluss von $\mathbb Q$ in $\mathbb R$ bezüglich der Standardtopologie Gedanken gemacht. Die von dir vorgeschlagene Frage geht zunächst davon aus, dass man nur $\mathbb Q$ mit der Standardmetrik (bzw. $\mathbb Q$ mit dem klassischen Absolutbetrag) hat und nun nach der Vervollständigung dieses Raumes sucht und sich fragt, inwiefern das mit $\mathbb R$ übereinstimmt. Das ist meiner Meinung nach eine qualitativ ganz andere Frage. LG Nico\(\endgroup\)


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Gestath
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  Beitrag No.17, eingetragen 2022-08-17

das ist ja eben das Problem, welche Definitionen sollen verwendet werden? Ich habe den Verdacht, dass der Begriff des topologischen und auch des metrischen Raumes schon mal nicht dazu gehört, sondern es nur um reelle Zahlen geht und den Abschluss darin. Die Fragestellung unter Verwendung von "konvergent" ist da nicht so sinnvoll. ich habe versucht mit meinem Bezug auf das Zitat "Also mein Problem ist, dass in unserem Skript die reellen Zahlen axiomatisch eingeführt wurden, die rationalen Zahlen tauchen dann plötzlich gefühlt aus dem Nichts auf." versucht, den Kontext und den Wissensstand des Fragestellers mit einzubeziehen, um doch noch eine sinnvolle Klärung zu erreichen. Offensichtlich nötig ist dann aber auch das Posten der Originalaufgabe, denn so wie es da steht, ist es nicht so klar.


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nzimme10
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-08-17

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ich vermute wie gesagt, dass es hier einfach der Begriff des Abschlusses einer Teilmenge von $\mathbb R$ eingeführt wurde und dann gezeigt werden soll, was die Dichtheit von $\mathbb Q$ in $\mathbb R$ in diesem Kontext bedeutet. Da schon in der Definition des Abschlusses von "konvergenten Folgen" die Rede ist, muss hier natürlich mindestens (implizit) eine Metrik oder Topologie involviert sein. Letztendlich ist der Abschluss einer Teilmenge (sowie die Dichtheit) ein topologischer Begriff. Dass die rationalen Zahlen "aus dem Nichts" aufgetaucht sind, ist dann wohl einfach der halbherzigen axiomatischen Einführung der reellen Zahlen im Rahmen einer typischen Analysis I Vorlesung geschuldet. Oftmals sind die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen auch "einfach schon da" und es wird nur noch $\mathbb R$ eingeführt. Ich stimme dir aber zu: Der Themenstarter sollte am besten die Aufgabenstellung und den Kontext der Aufgabe im Original angeben, so dass der Kontext der Aufgabe zweifelsfrei identifiziert werden kann. Sonst können wir hier noch ewig spekulieren, was wohl gemeint sein wird. LG Nico\(\endgroup\)


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