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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Tangentialebene mit Gerade an Hyperboloid
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Universität/Hochschule J Tangentialebene mit Gerade an Hyperboloid
Max_804
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  Themenstart: 2022-08-16

Hallo, Man betrachte das Hyperboloid H={(x;y;z)\el\ \IR^3 | z=sqrt(1+x^2+y^2)}. Bestimmen Sie die Menge der Punkte q \el\ H, in denen die Tangentialebene an H die Gerade \IR(1;1;0) enthält. Leider macht mir die Tangentialebene hier zu schaffen.. bei einer normalen Funktion würde ich ja nach x,y usw. ableiten und dann den Punkt in alle Funktionen einsetzen, hier gibt die Funktion aber z an, deswegen weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll. Habe die Gleichung nach 1 umgeformt und weiß jetzt nicht mehr weiter. $1=\sqrt(z^2-x^2-y^2)$ (Kriege die Wurzel nicht über alles)


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo, beachte, dass $H$ der Graph der Funktion $$ h\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, \ (x,y)\mapsto \sqrt{1+x^2+y^2} $$ ist. Du musst in $\LaTeX$ geschweifte Klammern setzen, wenn du mehr als eine Zahl oder ein Symbol unter der Wurzel willst, also \sqrt{1+x^2+y^2}. LG Nico\(\endgroup\)


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Max_804
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-16

\quoteon(2022-08-16 07:03 - nzimme10 in Beitrag No. 1) Hallo, beachte, dass $H$ der Graph der Funktion $$ h\colon \mathbb R^2\to \mathbb R, \ (x,y)\mapsto \sqrt{1+x^2+y^2} $$ ist. Du musst in $\LaTeX$ geschweifte Klammern setzen, wenn du mehr als eine Zahl oder ein Symbol unter der Wurzel willst, also \sqrt{1+x^2+y^2}. LG Nico \quoteoff Habe leider keinen Ansatz wie ich die Gerade reinbekomme, hätte ich einen Punkt gegeben wäre es ja klar


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-08-16 09:00 - Max_804 in Beitrag No. 2) Habe leider keinen Ansatz wie ich die Gerade reinbekomme, hätte ich einen Punkt gegeben wäre es ja klar \quoteoff Stichwort: Gradient. Du solltest also erst einmal die Gleichung der Tangentialebene in Abhängigkeit von \((x_0,y_0)\) aufstellen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-16

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ein weiterer Hinweis: Bevor du anfängst einfach mal darauf loszurechnen oder Ansätze durchzuprobieren, überlege dir doch mal, was hier wohl das Ergebnis sein muss. Die Gerade verläuft vollständig in der $xy$-Ebene des $\mathbb R^3$. Wie sieht nun $H$ aus? Welche Tangentialebenen enthalten also diese Gerade? Das kann man geometrisch/anschaulich zunächst direkt ohne eine Rechnung beantworten. Im Anschluss kannst du dann die Tangentialebene an einen Punkt $(x_0,y_0,z_0)$ rechnerisch bestimmen und Bedingungen an $x_0,y_0$ und $z_0$ herleiten, so dass die Gerade in dieser Tangentialebene verläuft. Wo liegt nun noch dein Problem? Wie ist die Tangentialebene denn definiert? LG Nico\(\endgroup\)


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Bozzo
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-16

Hallo Max_804, vlt. als Vorstufe, betrachte die Hyperbel \(H = \{ (x,y) : y = \sqrt{1+x^2} \}\) in der Ebene und überlege dir, welche Tangenten den Richtungsvektor (1,0) beinhalten. Gruß Bozzo


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