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Lineare Algebra » Vektorräume » Abbildungen mit endlichen Trägern ist UVR aller Abbildungen
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Universität/Hochschule J Abbildungen mit endlichen Trägern ist UVR aller Abbildungen
Arccos
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  Themenstart: 2022-08-18

Guten Tag, ich tue mich gerade schwer mit einer doch einfach erscheinenden Aufgabe. Gegeben ist eine Menge M und ein Körper K. Es sei \(Abb_0 (M,K)\) := { f:M->K | #Tr(f) < \(\infty\) } Zu zeigen ist nun, dass es sich bei \(Abb_0 (M,K)\) um einen Untervektorraum von Abb(M,K) handelt. Ich habe ja zu zeigen, dass es es ein neutrales Element gibt, ein Inverses, Skalarmultiplikation gibt, sowie der Körper eine abelsche Gruppe ist. Beim Körper liegt wohl meine größte Schwierigkeit, denn was nehme ich als Körper? Ich tendiere dazu K dafür zu nehmen, da dieser mit der Skalarmultiplikation am meisten Sinn macht für mich. Also würde ich für das Neutrale Element bezüglich + die Null-Abbildung nehmen. Da K ein Körper existiert \(0_K\) und offensichtlich ist die Null-Abbildung ein Element von von \(Abb_0 (M,K)\). Weiter würde ich als Inverse für ein f aus \(Abb_0 (M,K)\) -f nehmen, welches ja auch offensichtlich wieder in \(Abb_0 (M,K)\) ist. Nun würde ich noch die Skalarmultiplikation zeigen, welche eigentlich einfach ist, wenn ich K als Körper nehme. Also alles in allem liegt mein Problem beim Körper, da es sich um einen Vektorraum von Abbildungen handelt, tue ich mich mit dem allem schwer und bin etwas verwirrt. Ich hoffe, ich konnte mein Anliegen klar machen und jemand kann mir etwas beim Verständnis weiter helfen.


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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-18

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo Arccos, wenn dir das schwerfällt, schreibe das für \( \mathbb{K}=\mathbb{R}\) auf und überlege hinterher, ob der was sich ändert, wenn du einen beliebigen Körper nimmst. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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Arccos
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Wenn ich es so betrachte, dann macht es ja eigentlich keinen wirklichen Unterschied, welchen Körper ich dafür verwende. Ich danke dir für deine Antwort :)


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-18

Hallo Arccos, \quoteon(2022-08-18 12:09 - Arccos im Themenstart) Ich habe ja zu zeigen, dass [...] der Körper eine abelsche Gruppe ist. \quoteoff Schau noch mal in deine Unterlagen. Das hast du vermutlich falsch abgeschrieben.


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Arccos
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Oh ja, guter Hinweis. Der Körper beinhaltet die abelschen Gruppen (K,+) und (K\{0},*). Danke für den Hinweis.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-18

\quoteon(2022-08-18 13:45 - Arccos in Beitrag No. 4) Oh ja, guter Hinweis. Der Körper beinhaltet die abelschen Gruppen (K,+) und (K\{0},*). Danke für den Hinweis. \quoteoff Dass das abelsche Gruppen sind, ist aber (nach Voraussetzung) klar und muss nicht gezeigt werden. Was muss stattdessen noch bewiesen werden, um nachzuweisen, dass $Abb_0(M,K)$ ein UVR ist?


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Arccos
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Was noch fehlt, sollte die Assoziativität und Kommutativität sein. Dann dürfte doch eigentlich nichts mehr fehlen, was noch zu beweisen ist.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-18

\quoteon(2022-08-18 14:42 - Arccos in Beitrag No. 6) Was noch fehlt, sollte die Assoziativität und Kommutativität sein. Dann dürfte doch eigentlich nichts mehr fehlen, was noch zu beweisen ist. \quoteoff Dass die Verknüpfung assoziativ und kommutativ ist, ist klar und braucht nicht bewiesen zu werden. (Klar, wieso?) Allerdings musst du noch nachweisen, dass die Summe zweier Elemente aus $Abb_0(M,K)$ wieder in $Abb_0(M,K)$ liegt. Mehr ist dann nicht mehr zu zeigen.


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Arccos
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

Assoziativ und kommutativ folgt ja schon aus den Eigenschaften von K. Das die Verknüpfung zweier Elemente wieder ein Element ist, hab ich mir gleich mal noch notiert. Das zu zeigen ist recht einfach. Danke für deine Antworten :)


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ligning
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-18

Der Kern wurde hier m.E. noch nicht getroffen. So wie die Aufgabe gestellt ist, darfst du voraussetzen, dass $\mathrm{Abb}(M,K)$ ein $K$-Vektorraum ist. Das wurde sicher so in der Vorlesung besprochen. Du sollst nun das Unterraumkriterium anwenden, um zu zeigen, dass $\mathrm{Abb}_0(M,K)$ ein Untervektorraum ist. Das sind nur 3 einfache Bedingungen, die man nachprüfen muss. [Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Vektorräume' von ligning]


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