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Universität/Hochschule J Konvergenzrate Poisson-Problem
sU0111nu
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Dabei seit: 18.08.2022
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2022-08-18

Hallo zusammen, ich möchte ein 2D Poisson Problem auf einem Kreis mit Robin Randbedingungen mit Finiten Elementen lösen, d.h.: \(\) $$-\Delta u = f \text{ in } \Omega$$ $$u + \delta \partial_n u = 0 \text{ auf } \partial \Omega.$$ In meiner Uni Vorlesung habe ich ein theoretisches Resultat gesehen, das zeigt, dass für ein Poisson Problem mit Dirchlet Randbedingungen, wenn ich ein shape regular Dreiecksgitter und eine Regularitätsvoraussetzung an die Lösung habe, sich der $H^1$-Fehler wie $\mathcal{O}(h^k)$ verhält, wobei h die mesh size und k der Grad der polynomiellen FE Basisfunktionen ist. (Zumindest auf einem aus polygonen Gebiet; Das wegen des Kreisgebiets Fehler reinkommen können ist mir bewusst.) Ich würde nun gerne wissen, ob dieses theoretische Resultat auch für andere Randbedingungen, z.B. für Neumann Randbedingugen, gemischte Randbedingungen oder wie bei mir für Robin Randbedingungen gilt. Ich habe schon den ganzen morgen gegoogelt, aber finde irgendwie keine zufriedenstellende Ergebnisse. Entweder werden solche a priori Fehlerschranken immer nur für Poisson mit Dirichletbedingungen gezeigt, oder aber gleich für viel kompliziertere Gleichungen in sehr speziellen Fällen. Über jegliche Kommentare zur Verallgemeinerbarkeit oder aber über passende Referenzen würde ich mich deshalb sehr freuen.


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piquer
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-19

Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten! Ja, die Aussage gilt auch für andere Randbedingungen. Die Konvergenzuntersuchung für elliptische Probleme fußt auf vier Komponenten. 1. Die Variationsformulierung. Finde $u \in H$ mit \[ a(u, v) = \ell(v), \quad v \in H, \] wobei $\ell \in H'$ und $a$ eine stetige koerzive Bilinearform ist, \[ |a(u, v)| \leq C_1 |u| \, |v|, \] und \[ a(v, v) \geq C_2 |v|^2 \] mit $C_1, C_2 > 0$. 2. Dann gilt für den Galerkin-Fehler (Céas Lemma) \[ |u - u_h| \leq \frac{C_1}{C_2} \inf_{v_h \in V_h} |u - v_h|, \] d.h. der Fehler ist beschränkt durch den Approximationsfehler des Galerkin-Unterraums $V_h$. Insbesondere ist \[ |u - u_h| \leq C_3 |I_h(u) - u|, \] wobei $I_h : H \to V_h$ ein Projektionsoperator ist (etwa $L_2$-Projektion auf Patches oder Punktauswertung). Damit ist das Problem reduziert darauf, die Approximationseigenschaften von $I_h$ zu untersuchen. Dabei hilft 3. Bramble-Hilbert-Lemma. Ist $p: H^{k + 1} \to \IR$ eine stetige Halbnorm mit \[ p(v) = 0, \] falls $v$ ein Polynom bis einschließlich Grad $k$ ist, so gibt es $C_4$ mit \[ |p(v)| \leq C_4 |v|_{k+1}, \] wobei $|\cdot|_{k + 1}$ die $H^{k+1}$-Seminorm bezeichnet. Damit erhält man eine Abschätzung des Interpolationsfehlers in einer entsprechenden Halbnorm. Die endgültige Abschätzung folgt aus 4. Der Skalierungseigenschaft der Halbnorm und der Regularität der Triangulierung. Dazu schaut man sich an, wie die obige Halbnorm beim Übergang vom Refernezelement zum physikalischen Element skaliert (Stichwort Jacobi-Determinate). Die dabei zum Vorschein tretende Konstante lässt sich uniform in $h$ abschätzen. Wie du siehst, hängt nur Schritt 1 (und teilweise 2) von der genauen Formulierung des Problems ab. Der Rest ist Approximationstheorie in Sobolevräumen für stückweise Polynome und unabhängig vom betrachteten Problem. Um also nachzuweisen, dass dein Problem in optimaler Rate konvergiert, musst du nur zeigen, dass die VF die Vor. des Lax-Milgram-Lemmas erfüllt. Viele Grüße Torsten


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sU0111nu
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-20

Lieber Torsten, vielen Dank für deine ausführliche und enorm hilfreiche Antwort. Das hat nicht nur meine Frage gut beantwortet, sondern ich habe damit auch einige Zusammenhänge in meiner Vorlesung verstanden, die mir vorher gar nicht so klar waren. So stellt man sich eine Antwort vor! LG


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