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Mathematik » Topologie » Stetigkeit
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Universität/Hochschule Stetigkeit
hwi
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  Themenstart: 2022-08-18

Moin, Ich bin mir nicht ganz sicher ob das hier das richtige Unterforum ist oder ob die frage nicht eher in Analysis gehört, falls dem so seien sollte, bitte ich um Entschuldigung. ich versuche mir gerade die topologische Definition der Stetigkeit am Beispiel \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\), \[ f(x)={\begin{cases}x,&{\text{wenn }}x\leq 1\\x+1,&{\text{wenn }}x>1\end{cases}} \] klar zu machen. Ich hab da glaube ich ein grundlegendes Verständnis Problem. Könnt ihr mir bitte sagen was ich falsch mache: Also, ich gehe von folgender Definition aus: Eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen ist genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind. Die Offenen Mengen im Bildraum wären dann ja die Intervalle \((\infty, 1)\) und wahrscheinlich sowas wie \((\lim_{a\rightarrow 1} f(2-a), \infty)\), aber die Urbilder dieser Intervalle wären dann wieder \((\infty, 1)\) und \((\lim_{a\rightarrow 1} 2-a, \infty)\). Da das gesamte Urbild von f ja ganz \(\mathbb{R}\) ist wären die doch wieder offen, oder? Das kann ja so nicht stimmen, aber wo ist der Denkfehler? Beste Grüße & Danke!, hwi


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Nuramon
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) Hallo, ich kann nicht nachvollziehen, was Du mit diesen speziellen offenen Mengen aussagen willst. Zur Definition eines topologischen Raums gehört die Definition der offenen Mengen in diesem Raum. Was die offenen Mengen sind, ist in dem Beispiel also unabhängig von der Funktion $f$. Zunächst einmal solltest Du klären, welche topologischen Räume hier gemeint sind. Ich gehe davon aus, dass beide $\IR$ aus dem Beispiel (Definitionsmenge und Zielmenge von $f$) mit der Standardtopologie versehen sein sollen. Was sind dann also die offenen Mengen?\(\endgroup\)


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hwi
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-18

\quoteon(2022-08-18 20:33 - Nuramon in Beitrag No. 1) Hallo, ich kann nicht nachvollziehen, was Du mit diesen speziellen offenen Mengen aussagen willst. Zur Definition eines topologischen Raums gehört die Definition der offenen Mengen in diesem Raum. Was die offenen Mengen sind, ist in dem Beispiel also unabhängig von der Funktion $f$. Zunächst einmal solltest Du klären, welche topologischen Räume hier gemeint sind. Ich gehe davon aus, dass beide $\IR$ aus dem Beispiel (Definitionsmenge und Zielmenge von $f$) mit der Standardtopologie versehen sein sollen. Was sind dann also die offenen Mengen? \quoteoff Du hast recht, ich meine die Standardtopologie auf \(\mathbb{R}\). Die Offenen Mengen auf \(\mathbb{R}\) sind dann die offenen Intervalle \[(a,b):=\{x\in \mathbb{R} \mid a


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Nuramon
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-18

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-08-18 20:51 - hwi in Beitrag No. 2) Du hast recht, ich meine die Standardtopologie auf \(\mathbb{R}\). Die Offenen Mengen auf \(\mathbb{R}\) sind dann die offenen Intervalle \[(a,b):=\{x\in \mathbb{R} \mid afür jede offene Menge $U\subseteq Y$ das Urbild $f^{-1}(U)\subseteq X$ offen ist. Hast Du bereits eine Vermutung, ob die Funktion aus dem Themenstart stetig ist?\(\endgroup\)


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hwi
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-19

Erstmal schonmal vielen Dank! Aber ich hab es leider immernoch nicht verstanden. \quoteon(2022-08-18 20:57 - Nuramon in Beitrag No. 3) Das sind noch nicht alle offenen Mengen in $\IR$. \quoteoff Entsprechend der Definition einer Topologie müssen auch die leere Menge, Vereinigungen offerner Intervalle und Durchschnitte offener Intervalle offene Mengen auf $\mathbb{R}$ seien. \quoteon(2022-08-18 20:57 - Nuramon in Beitrag No. 3) Eine Funktion $f:X\to Y$ zwischen topologischen Räumen $X,Y$ ist stetig, wenn für jede offene Menge $U\subseteq Y$ das Urbild $f^{-1}(U)\subseteq X$ offen ist. Hast Du bereits eine Vermutung, ob die Funktion aus dem Themenstart stetig ist? \quoteoff Die Funktion ist an der Stelle $x = 1$ unstetig, da man hier in der Bildmenge $\epsilon$-Umgebungen wählen kann, zu denen man keine $\delta$-Umgebung in der Urbildmenge finden kann, so dass alle Funktionswerte dieser in der zuvor gewählten $\epsilon$-Umgebungen liegen. Jetzt wäre es nahliegend bei oder in der Nähe von $f(x=1)$ eine offene Menge zu finden und zu zeigen, das diese bei Urbildnahme geschlossen ist, oder? Wenn ich also z.b. aus der Bildmenge $(-\infty, 1)$ und $(2,\infty)$ betrachte, dann grenzen diese ja in die Unstetigkeit. Aber die Urbilder müssten doch $(-\infty, 1)$ und $(1,\infty)$ seien, die wiederum wieder offen sind, oder?


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Nuramon
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\d}{{\rm d}} \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}} \newcommand{\spur}{\operatorname{spur}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand\ceil[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} \newcommand\floor[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}\) \quoteon(2022-08-19 12:11 - hwi in Beitrag No. 4) Die Funktion ist an der Stelle $x = 1$ unstetig, da man hier in der Bildmenge $\epsilon$-Umgebungen wählen kann, zu denen man keine $\delta$-Umgebung in der Urbildmenge finden kann, so dass alle Funktionswerte dieser in der zuvor gewählten $\epsilon$-Umgebungen liegen. \quoteoff Kannst Du so eine $\epsilon$-Umgebung angeben? \quoteon Jetzt wäre es nahliegend bei oder in der Nähe von $f(x=1)$ eine offene Menge zu finden und zu zeigen, das diese bei Urbildnahme geschlossen ist, oder? \quoteoff Du meinst "nicht offen". Viele Teilmengen sind weder offen noch geschlossen. \quoteon Wenn ich also z.b. aus der Bildmenge $(-\infty, 1)$ und $(2,\infty)$ betrachte, dann grenzen diese ja in die Unstetigkeit. Aber die Urbilder müssten doch $(-\infty, 1)$ und $(1,\infty)$ seien, die wiederum wieder offen sind, oder? \quoteoff Ja. Diese beiden Intervalle eignen sich also nicht um die Unstetigkeit nachzuweisen. \(\endgroup\)


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hwi
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-19

\quoteon(2022-08-19 12:38 - Nuramon in Beitrag No. 5) Kannst Du so eine $\epsilon$-Umgebung angeben? \quoteoff Bei $f(1)$, im Prinzip alle $\epsilon<1$, also z.b. 0,5. Da für alle $x>1$ dann $f(x)>2$ ist muss ein $\delta<0$ dann auch auf Werte 2 und größer abgebildet werden. Ein Intervall der Art (0,5; 1,5) kann ich für die topologische Argumentation hier nicht verwenden da Urbild nehmen vorraussetzt, dass die Intervalle in der Bildmenge der Funktion liegen, oder? Tut mir leid wenn ich schwer von Begriff bin.


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wladimir_1989
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-19

Hallo hwi, \quoteon(2022-08-19 13:03 - hwi in Beitrag No. 6) Bei $f(1)$, im Prinzip alle $\epsilon<1$, also z.b. 0,5. \quoteoff genau. Nehmen wir also \(\epsilon=\frac12\) an und \(\delta>0\) beliebig. Verwende nun konkret die Definition von Stetigkeit für \(x_0=1\). lg Wladimir


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Nuramon
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-19

\quoteon(2022-08-19 13:03 - hwi in Beitrag No. 6) Ein Intervall der Art (0,5; 1,5) kann ich für die topologische Argumentation hier nicht verwenden da Urbild nehmen vorraussetzt, dass die Intervalle in der Bildmenge der Funktion liegen, oder? \quoteoff Doch das geht und ist hier sogar notwendig. Das Urbild ist für jede Teilmenge der Zielmenge definiert, egal, ob diese Teilmenge im Bild der Funktion liegt.


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PhysikRabe
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-08-19

\quoteon(2022-08-19 13:52 - Nuramon in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-08-19 13:03 - hwi in Beitrag No. 6) Ein Intervall der Art (0,5; 1,5) kann ich für die topologische Argumentation hier nicht verwenden da Urbild nehmen vorraussetzt, dass die Intervalle in der Bildmenge der Funktion liegen, oder? \quoteoff Doch das geht und ist hier sogar notwendig. Das Urbild ist für jede Teilmenge der Zielmenge definiert, egal, ob diese Teilmenge im Bild der Funktion liegt. \quoteoff Um das noch zu verdeutlichen: Für eine Abbildung $f:X \to Y$ ist das Urbild einer beliebigen Teilmenge $Y' \subseteq Y$ definiert als $f^{-1} (Y') := \{x\in X \, : \, f(x)\in Y' \}$. Dazu muss $Y'$ nicht im Bild von $f$ liegen; z.B könnte auch $f^{-1} (Y') = \emptyset$ sein (d.h. $Y'$ und $f(X)$ sind disjunkt). Grüße, PhysikRabe


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hwi
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-19

\quoteon(2022-08-19 13:52 - Nuramon in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-08-19 13:03 - hwi in Beitrag No. 6) Ein Intervall der Art (0,5; 1,5) kann ich für die topologische Argumentation hier nicht verwenden da Urbild nehmen vorraussetzt, dass die Intervalle in der Bildmenge der Funktion liegen, oder? \quoteoff Doch das geht und ist hier sogar notwendig. Das Urbild ist für jede Teilmenge der Zielmenge definiert, egal, ob diese Teilmenge im Bild der Funktion liegt. \quoteoff Okay, perfekt, ich glaube da lag unter anderen mein Fehler. Ich würde dann einfach z.b. $(-1,5; 1,5)$ betrachten, das Urbild davon müsste $(-1,5; 1]$ seien. Was aber wiederum nur nach halb offen seien kann, da die 1 drin liegen muss, da z.b. $f^{-1}(1)=1$, aber alles was größer ist nicht mehr drin liegen kann, da für $x>1$ gilt $f(x)>2$. \quoteon(2022-08-19 14:14 - PhysikRabe in Beitrag No. 9) Um das noch zu verdeutlichen: Für eine Abbildung $f:X \to Y$ ist das Urbild einer beliebigen Teilmenge $Y' \subseteq Y$ definiert als $f^{-1} (Y') := \{x\in X \, : \, f(x)\in Y' \}$. Dazu muss $Y'$ nicht im Bild von $f$ liegen; z.B könnte $f^{-1} (Y') = \emptyset$ sein. Grüße, PhysikRabe \quoteoff Auch hier nochmal vielen Dank, das war mir so nicht bewusst. \quoteon(2022-08-19 13:37 - wladimir_1989 in Beitrag No. 7) genau. Nehmen wir also \(\epsilon=\frac12\) an und \(\delta>0\) beliebig. Verwende nun konkret die Definition von Stetigkeit für \(x_0=1\). lg Wladimir \quoteoff Hier verstehe ich nicht ganz worum es geht, darum die Unstetigkeit mittels $\epsilon\delta$-Kriterium zuende zu beweisen? Jedenfalls vielen Dank euch allen! Beste Grüße & Schönes WE, hwi


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nzimme10
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-08-19

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-08-19 16:15 - hwi in Beitrag No. 10) Hier verstehe ich nicht ganz worum es geht, darum die Unstetigkeit mittels $\epsilon\delta$-Kriterium zuende zu beweisen? \quoteoff Ich glaube für dich (und um die oben zitierte Frage zu beantworen) wäre es sehr instruktiv, wenn du die Äquivalenz der $\varepsilon$-$\delta$-Definition mit der Definition über offene Mengen beweisen würdest. (Natürlich im Fall metrischer Räume; sonst ergibt $\varepsilon$-$\delta$-Definition ja gar keinen Sinn). Dazu kann es auch zunächst hilfreich sein, die eventuell vorhandene Asymmetrie der beiden Definitionen zu beseitigen. Bei der $\varepsilon$-$\delta$-Definition handelt es sich meist zunächst um eine punktweise Definition, während die Definition über offene Mengen, die du gegeben hast, eine globale Definition ist. Es kann also auch hilfreich sein, wenn du dir überlegst, wie man Stetigkeit an einem einzelnen Punkt mit Hilfe von offenen Mengen ausdrücken kann. Die zentrale Erkenntnis bekommt man auch schon im Spezialfall der reellen Zahlen mit der Standardmetrik. LG Nico\(\endgroup\)


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