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 Borelmaß auf einem metrischen Raum |
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Dominik1112
Aktiv 
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 47
 |  Themenstart: 2022-08-19
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Hi, hier eine Frage aus der Maßtheorie:
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\mu$ ein Borelmaß auf $X$. Dann gilt $\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n(x_0))=\mu(X)$ für jedes $x_0\in X$.
Ist das richtig oder falsch?
Ich würde sagen nur richtig, wenn der metrische Raum sigma-kompakt ist, denn dann gilt $\bigcup_{n\in\mathbb N} B_n(x_0)=X$ und aus der Stetigkeit von unten folgt die Behauptung. Bin ich auf dem richtigen Weg? Ein Gegenbeispiel für einen nicht sigma kompakten Raum habe ich noch nicht gefunden.
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-19
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\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
deine Bedingung hat nicht unbedingt etwas mit $\sigma$-Kompaktheit zu tun. Bei dieser geht es um abzählbare Vereinigungen kompakter Mengen.
Ist $(X,d)$ ein metrischer Raum, dann gilt immer $\bigcup_{n\in \mathbb N} B_n(x_0)=X$, was daran liegt, dass $d(x,x_0)<\infty$ für alle $x,x_0\in X$ gefordert wird und es zu jeder reellen Zahl eine natürliche Zahl gibt, die größer ist (Archimedisches Axiom).
LG Nico\(\endgroup\)
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Dominik1112
Aktiv
Dabei seit: 07.08.2021
Mitteilungen: 47
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-19
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Das bedeutet meine Überlegungen sind richtig für jeden metrischen Raum?
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-19
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Jedes Maß ist stetig von unten und weil $\mu$ ein Borelmaß ist kann man $\mu(B_n(x_0))$ für jedes $x_0\in X$ und $n\in \mathbb N$ schreiben (alle offenen Mengen sind messbar).
LG Nico\(\endgroup\)
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