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 Notation: Pfeile, einfache und doppelte |
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e7m11
Neu 
Dabei seit: 22.03.2020
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2022-08-23
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Servus Leute,
z.B. in Oliver Deisers "Grundbegriffe der Mathematik" wird für den Junktor der Implikation als Symbol ein einfacher Pfeil → verwendet und an späterer Stelle im Kapitel zu aussagenlogischen Beweismustern gesagt, dass man anstelle des Wortes "impliziert" auch den Doppelpfeil ⇒ als Symbol verwendet (S.29).
Jetzt zu meiner Frage: Dient diese Unterscheidung nur einer besseren Leserlichkeit (so, wie das Setzen von Klammern, die an mancher Stelle eig. nicht nötig wären), oder gibt es da einen semantischen Unterschied?
Ich bin jedenfalls noch an keiner Stelle auf eine Unterscheidung von zwei Implikationspfeilen gestoßen (steh auch noch am Anfang ;) ).
Gruß
Marius
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Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 296
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-23
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Hallo,
die Notationen $\rightarrow$ und $\Rightarrow$ meinen das gleiche.
Wenn man Logik (und Aussagenlogik) macht, dann benutzt man oft $\rightarrow$.
Den Grund dafür kenne ich nicht.
Es könnte die einfachere Schreibbarkeit sein. Ähnlich wie $7x$ anstelle von $7\cdot x$.
Die Terme in der Aussagenlogik können ja schon umfangreicher sein.
Außerdem ist $\rightarrow$ auch meiner Meinung nach angenehmer zu lesen.
In dem Kontext von "ganz normaler" Mathematik benutzt man eigentlich nie $\rightarrow$ sondern eben $\Rightarrow$.
Ich habe das eigentlich noch nie anders gesehen.
Wir halten fest:
$\rightarrow$ ist so ein "Logiker" Ding. Lernt man Mathematik am Anfang kennen und macht Aussagenlogik mit Wahrheitstafeln und so weiter, dann sieht man vermutlich erstmal diese Schreibweise.
Schreibt man in der Analysis, Linearen Algebra etc. Implikationen hin, dann sieht man diese normalerweise mit $\Rightarrow$.
Ein Grund könnte sein, dass $\rightarrow$ bei Funktionen Verwendung findet, und die Notation (wie so oft) überbelegt ist.
Es ist also eher eine Konvention, und zu einem gewissen Grad sicherlich auch Geschmackssache.
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Ixx
Aktiv 
Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 343
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-08-23
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Moin,
eine Stelle, warum man gerade in der Logik zwischen $\rightarrow$ und $\Rightarrow$ unterscheidet, ist, um die Ebene der Verwendung dieses Folgerungspfeils deutlich zu machen. So wird $\rightarrow$ innerhalb einer Formel verwendet und $\Rightarrow$, um Folgerungen zwischen Formeln auszudrücken.
Häufiger tritt das bei Äquivalenzen auf. So kann man die Formel $A \leftrightarrow B$ betrachten und feststellen, dass diese Formel äquivalent ist zu Formel $B \leftrightarrow A$, und dann schreiben
$(A \leftrightarrow B) \Leftrightarrow (B \leftrightarrow A)$,
während
$(A \leftrightarrow B) \leftrightarrow (B \leftrightarrow A)$
wiederum nur eine Formel (die dann aber eine Tautologie darstellt, d.h., immer wahr ist) ist.
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2719
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2022-08-23 19:19 - Qing in Beitrag No. 1)
Ein Grund könnte sein, dass $\rightarrow$ bei Funktionen Verwendung findet, und die Notation (wie so oft) überbelegt ist.
\quoteoff
Ganz so überbelegt ist die Notation nicht notwendigerweise. Man kann sich nutzbringend eine Aussage A als die Menge der "Beweise" von A vorstellen.
Ein Beweis einer Implikation $A \to B$ wäre dann in natürlicher Weise eine Funktion von $A$ nach $B$.\(\endgroup\)
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Qing
Aktiv
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 296
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-23
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Danke für die interessante Sichtweise, die ich just in meine mathematische Allgemeinbildung integriere.
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absolem
Junior 
Dabei seit: 17.07.2021
Mitteilungen: 18
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-08-23
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Ich hatte Einführung in Logik bei Richard Pink. Er meinte, dass $\Rightarrow$ metasprachlich und $\rightarrow$ objektsprachlich zu verstehen seinen (was wir als "Beweise" aus Mathebücher und Paper kennen, ist ja trotz gewissem Formalismus metasprachlich formuliert).
Wolfgang Rautenberg folgt dem meinem Eindruck nach auch, schreibt im Buch "Einführung in die mathematische Logik":
\quoteon(2022-08-23 21:08 - Wolfgang Rautenberg)
Bezeichnen $A$, $B$ metasprachliche Ausdrücke, stehen $A \Leftrightarrow B$, $A \Rightarrow B$ , $A \& B$ und
$A \wedge B$ für $A$ genau dann wenn $B$, wenn $A$ so $B$ , $A$ und $B$ bzw. $A$ oder $B$.
\quoteoff
Ich bin kein Logiker, aber jedenfalls hatte ich bisher die Wahrnehmung, dass das tatsächlich in konsistenter Weise so funktioniert.
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e7m11
Neu
Dabei seit: 22.03.2020
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-24
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Ich danke euch für die Antworten!
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
AlphaSigma
Senior
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 401
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-08-24
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Hallo e7m11,
in diesem Buch Grundbegriffe der Mathematik wird auch explizit zwischen Einfach- und Doppelpfeilen unterschieden.
S. 17: Bemerkung Die Zeichen \(\leftrightarrow\) und \(\Leftrightarrow\) haben unterschiedliche Bedeutungen:
"\(\leftrightarrow\)" ist eine logische Operation, verbindet somit Aussagen (bzw. Aussageformen) zu einer bedingten Aussage (bzw. Aussageform)
"\(\Leftrightarrow\)" ist hingegen eine Relation zwischen zwei Aussageformen und bedeutet, dass letztere identische Wahrheitstafeln haben.
Auf Seite 22 steht dann die Bemerkung Zwischen Subjunktion und logischer Implikation besteht derselbe Unterschied wie zwischen Bijunktion und logischer Äquivalenz (vgl. Bemerkung oben).
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AlphaSigma
Senior
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 401
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-08-24
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AlphaSigma
Senior
Dabei seit: 23.11.2012
Mitteilungen: 401
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-01-28
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Hallo,
auch wenn die Frage schon beantwortet ist. Anbei noch ein Auszug aus Aumann; Haupt: "Einführung in die reelle Analysis", Band 1, in dem der Unterschied zwischen Subjunktion und Implikation bzw. zwischen Bisubjunktion und Äquivalenz ähnlich beschrieben wird, wie im Beitrag No. 5 von absolem.
Einige Autoren nehmen für Subjunktion und Bisubjunktion Einfachpfeile und für Implikation und Äquivalenz Doppelpfeile; Aumann und Haupt verwenden nur Einzelpfeile.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35344_Aumann_Analysis_Implikation.png
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