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Funktionentheorie » Holomorphie » Komplexe Diff'barkeit feststellen
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Universität/Hochschule Komplexe Diff'barkeit feststellen
nkln
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  Themenstart: 2022-09-03

A1) Wo ist $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto |z|^2+\overline{z}$ komplex diff'bar? Bestimmen sie dort die Ableitung! Wo ist $f$ holomorph? A2) Untersuchen Sie die Funktion [center] $f:\mathbb{C}^{*}\to \mathbb{C}, z \mapsto \frac{e^{z^2-1}}{z}+Re(z)^2+Im(z)^5-i(Re(z)^5+Im(z)^2)$ [/center] auf komplexe Diff'barkeit und Holomorphie. Lösung zu A1: Zu nächst schreiben wir $f$ um als $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto |z|^2+\overline{z}=z\cdot\overline{z}+\overline{z}$ mit $z\cdot\overline{z}+\overline{z}=(x+iy)\overline{(x+iy)}+\overline{(x+iy)}=(x+iy)(x-iy)+(x-iy)=x^2-ixy+ixy+y^2+x-iy=x^2+x-iy+y^2$ also $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, z \mapsto x^2+x-iy+y^2$ Angenommen $f$ ist komplex diff'bar in $z_0 \in \mathbb{C}$, dann wäre $f$ auch reell diff'bar in $z_0$ und würde die Cauchy-Riemann-Dgl erfüllen. sei nun $f(x+iy)=(u(x,y),v(x,y))$, dann ist $u(x,y)=x^2+x+y^2$ und $v(x,y)=y$. für CR-DGl muss gelten $u_x=v_y$ und $u_y=-v_x$, also $u_x=2x+1=1=v_y$ und $u_y=2y=0=-v_x$ Daraus folgt $x=0$ und $y=0$. Das heißt $f$ ist im Punkt $ z=0 \in \mathbb{C}$ komplex diff'bar und holomorph und die Ableitung ist dort $f'(0)=u_x(0,0)+iv_x(0,0)=0+0=0$ ist das so richtig? Lösung zu A2: $ \frac{e^{z^2-1}}{z}$ ist als Quotient von zwei komplex diff'baren Funtkionen wieder komplex diff'bar. Sei nun $g(z)=Re(z)^2+Im(z)^5-i(Re(z)^5+Im(z)^2)$ dann ist $g(z)$ komplex diff'bar in $z_0\in\mathbb{C}$, wenn g reell diff'bar in $z_0$ ist und es müssen die CR-Dgls erfüllt werden. also $g(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$ mit $u(x,y)=x^2+y^5$ und $v(x,y)= x^5+y^2$ mit $u_x=v_y$ und $u_y=-v_x$. Also $u_x=2x, u_y=5y^4,v_x=5x^4, v_y=2y$ und folglich $u_x=2x=2y=v_y$ und $u_y=5y^4=-5x^4=-v_x$. Aus $u_x=2x=2y=v_y$ folgt $x=y$ und aus $u_y=5y^4=-5x^4=-v_x$ folgt Bei $u_y=5y^4=-5x^4=-v_x$ harkt es, was soll ich hier machen?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-03

\quoteon(2022-09-03 19:25 - nkln im Themenstart) Bei $u_y=5y^4=-5x^4=-v_x$ harkt es, was soll ich hier machen? \quoteoff Wegen $5y^4\ge0$ und $-5x^4\le0$ wirst du keine Lösung mit $x+iy\in\mathbb C^*$ finden. Allerdings hast du dich schon vorher verrechnet. Gilt für deine Funktionen $u$ und $v$ tatsächlich $g=u+iv$? --zippy


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nkln
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-04

Hey, danke für deine Antowrt und Bemphungen! müsste $v(x,y)= -x^5-y^2$ sein? also ich habe vergessen, dass ich die Minusklammer auflösen muss? kann man das so auch in einer Klausur schreiben? \quoteon(2022-09-03 22:23 - zippy in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-09-03 19:25 - nkln im Themenstart) \quoteoff Wegen $5y^4\ge0$ und $-5x^4\le0$ wirst du keine Lösung mit $x+iy\in\mathbb C^*$ finden. \quoteoff Liebe grüße


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-04

\quoteon(2022-09-04 10:42 - nkln in Beitrag No. 2) kann man das so auch in einer Klausur schreiben? \quoteoff Warum nicht? Es zeigt doch, dass $x=y=0$ die einzige Lösung ist. Aber nach deiner Korrektur von $v$ benötigst du dieses Argument ja nicht mehr.


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nkln
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-04

\quoteon(2022-09-04 11:28 - zippy in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-09-04 10:42 - nkln in Beitrag No. 2) kann man das so auch in einer Klausur schreiben? \quoteoff Warum nicht? Es zeigt doch, dass $x=y=0$ die einzige Lösung ist. Aber nach deiner Korrektur von $v$ benötigst du dieses Argument ja nicht mehr. \quoteoff es tut mir leid, aber ich verstehe irgendwie gar nichts mehr. Ich habe nach der Korrektur meines $v(x,y)$ folgende partielle Ableitungen raus. $u(x,y)=x^2+y^5$ oder v(x,y)=-x^5-y^2$ $u_x=2x,u_y=5y^4,v_x=-5x^4,v_y=-2y dann muss ja gelten $u_x=v_y$ und $u_y=-v_X$ Aus $u_x=v_y$ folgt $2x=-2y$ als $x=-y$ und aus $u_y=-v_x$ folgt $5y^4=5x^4$ also ich weis nicht, was ich jetzt machen muss, um x und y zu bestimmen. Muss ich ein 2x2 LGS lösen? Danke für die Hilfe!


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-04

\quoteon(2022-09-04 20:37 - nkln in Beitrag No. 4) Aus $u_x=v_y$ folgt $2x=-2y$ als $x=-y$ und aus $u_y=-v_x$ folgt $5y^4=5x^4$ also ich weis nicht, was ich jetzt machen muss, um x und y zu bestimmen. \quoteoff Du musst dir klar machen, dass für zwei Zahlen $x$ und $y$ mit $x=-y$ automatisch auch $5y^4=5x^4$ gilt.


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nkln
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-05

\quoteon(2022-09-04 21:44 - zippy in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-09-04 20:37 - nkln in Beitrag No. 4) Aus $u_x=v_y$ folgt $2x=-2y$ als $x=-y$ und aus $u_y=-v_x$ folgt $5y^4=5x^4$ also ich weis nicht, was ich jetzt machen muss, um x und y zu bestimmen. \quoteoff Du musst dir klar machen, dass für zwei Zahlen $x$ und $y$ mit $x=-y$ automatisch auch $5y^4=5x^4$ gilt. \quoteoff Also heißt, dass die beiden Bedingungen $x=-y$ und $5y^4=5x^4$ erfüllt sein müssen? Dies klappt ja nur wenn $x=y=0$, weil sonst die Bedingung $x=-y$ crashen würde. Also ist $g(z)=g(x,y)$ nur in $z_0=x_0+iy_0=0+i0$ also $z_0=(x_0,y_0)=(0,0)$ diff'bar und holomorph, oder? Da $f(z)=\frac{e^{z^2-1}}{z}+g(z)$ zu untersuchen ist, kann jedoch festgehalten werden, dass $f(z)$ nicht diff'bar und holomorph ist, da $z=(x,y)=(0,0)$ gelten muss, jedoch $f$ von $f:\mathbb{C}^{*}\to \mathbb{C}$ abbildet, sprich die $0$ ist nicht im Definitionsbereich enthalten. Habe ich den Beweis so richtig geführt?


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-05

\quoteon(2022-09-05 10:03 - nkln in Beitrag No. 6) Also heißt, dass die beiden Bedingungen $x=-y$ und $5y^4=5x^4$ erfüllt sein müssen? \quoteoff Richtig. \quoteon(2022-09-05 10:03 - nkln in Beitrag No. 6) Dies klappt ja nur wenn $x=y=0$, weil sonst die Bedingung $x=-y$ crashen würde. \quoteoff Das ist falsch. Die beiden Bedingungen $x=-y$ und $5y^4=5x^4$ zusammen sind äquivalent zur ersten Bedingung: \quoteon(2022-09-04 21:44 - zippy in Beitrag No. 5) Du musst dir klar machen, dass für zwei Zahlen $x$ und $y$ mit $x=-y$ automatisch auch $5y^4=5x^4$ gilt. \quoteoff


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nkln
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-05

Es tut mir unfassbar leid, aber ich verstehe es einfach nicht.... \quoteon(2022-09-04 21:44 - zippy in Beitrag No. 5) Du musst dir klar machen, dass für zwei Zahlen $x$ und $y$ mit $x=-y$ automatisch auch $5y^4=5x^4$ gilt. \quoteoff \quoteoff Also $x=-y$ erfüllt doch auch $5y^4=5x^4$ ,da sich durch die geraden Potenzen das minus eliminiert und dann gilt die Gleichung gilt? ich stehe mega auf dem schlauch sorry


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zippy
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-09-05

\quoteon(2022-09-05 10:58 - nkln in Beitrag No. 8) Also $x=-y$ erfüllt doch auch $5y^4=5x^4$ ,da sich durch die geraden Potenzen das minus eliminiert und dann gilt die Gleichung gilt? \quoteoff Richtig. Und daher sind die beiden Bedingungen (1) $x=-y$ (2) $5y^4=5x^4$ äquivalent zu der einen Bedingung (1) $x=-y$ und diese Bedingung allein sagt dir, wo $g$ komplex differenzierbar ist.


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nkln
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-05

also alle Werte die vom Tupel sind $(x,-x)$ sind oder? wie verbinde ich das zu $f(z)$?


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zippy
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-09-05

\quoteon(2022-09-05 12:05 - nkln in Beitrag No. 10) wie verbinde ich das zu $f(z)$? \quoteoff Was meinst du mit "verbinden"? $f$ ist komplex differenzierbar in allen Punkten ihres Definitionsbereiches, die auf der Geraden $(1-i)\,\mathbb R$ liegen.


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nkln
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-08

Hi zippy, sorry für meine verspätete Antwort. Ich bin die Themen mit einer Lerngruppe nochmal durchgegangen, da ich mein Wissen noch etwas festigen wollte, bevor ich dir antworte! Ich habe noch eine Frage. Falls $f$ komplex diff'bar in der Lösungsmenge $D:=\{z=x-ix | \forall x \in \mathbb R\}$ ist, ist es doch dann gleichzeitig auch holomorph auf dieser Menge oder?


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zippy
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-09-08

\quoteon(2022-09-08 11:09 - nkln in Beitrag No. 12) Falls $f$ komplex diff'bar in der Lösungsmenge $D:=\{z=x-ix | \forall x \in \mathbb R\}$ ist, ist es doch dann gleichzeitig auch holomorph auf dieser Menge oder? \quoteoff 1. $f$ ist nur auf $\mathbb C^*$ definiert und daher komplex differenzierbar nur auf $D\cap\mathbb C^*$: \quoteon(2022-09-05 12:31 - zippy in Beitrag No. 11) $f$ ist komplex differenzierbar in allen Punkten ihres Definitionsbereiches, die auf der Geraden $(1-i)\,\mathbb R$ liegen. \quoteoff 2. Eine Funktion ist holomorph in einem Punkt, wenn sie komplex differenzierbar in einer Umgebung dieses Punktes ist. $D$ enthält aber keine Umgebung irgendeines Punktes.


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