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Funktionentheorie » Holomorphie » Satz von Liouville / Hebbarkeit Riemann
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Universität/Hochschule Satz von Liouville / Hebbarkeit Riemann
Koalabaer17
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  Themenstart: 2022-09-08

Hallo, ich bin neu hier und danke, dass ich hier die Frage stellen darf. A1) a) Sei $A \subset \mathbb C$ eine diskrete Menge in $\mathbb C$ und $f: \mathbb C \setminus A \to \mathbb C$ holomorph und beschränkt. Zeigen Sie, dass $f$ konstant ist. b) Seien $f,g$ ganze Funktionen mit der Eigenschaft $|f(z)|<|g(z)|$ für alle bis auf endlich viele $z \in \mathbb C$. Zeigen Sie, dass es ein $\lambda \in \mathbb C gibt,so dass f(z)= \lambda g(z)$ Mein Ansatz zu A1) a) Da $A \subset \mathbb C$ eine diskrete Menge in $\mathbb C$ ist und $f:\mathbb C \setminus A \to \mathbb C$ holomorph und beschränkt ist, kann festgehalten werden dass $|f(z)| \le c$ für $z \in \mathbb C \setminus A $ und $c \in \mathbb C$. Außerdem hat $f(z)$ isolierte Singularitäten, da $\mathbb C \setminus A$ betrachtet wird und $A$ diskret in $\mathbb C$ ist. Diese einzelnen isolierten Singularitäten lassen sich mittels des Riemann'schen Hebbarkeitssatz durch eine ganze Funktion fortsetzen. Da die Summe dieser einzelnen Fortsetzungen auch wieder holomorph ist, ist $f$ nun eine ganze Funktion, das heißt auf ganz $\mathbb C$ holomorph. Da $f$ ganz und beschränkt ist, folgt mit dem Satz von Liouville $f$ ist konstant. b) ich wollte hier den Hebbarkkeitssatz anwenden, aber das kann ich leider nicht, da es keine isolierten Singularitäten gibt. Hat jemand einen Ansatz?


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Hallo und willkommen auf dem Matheplaneten! :) Bei a) solltest du meiner Meinung nach noch genauer begründen, warum die ganzen Singularitäten hebbar sind. Auch dieses "Die Summe dieser ganzen Funktionen" finde ich noch komisch. Was meinst du damit genauer? Warum sollte diese Summe dann mit dem ursprünglichen $f$ übereinstimmen? Hier gilt es also am besten noch die Details zu klären. Für b) https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=258931&start=0#p1880267 LG Nico [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Holomorphie' von nzimme10]\(\endgroup\)


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