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Kein bestimmter Bereich Schwereloses Doppelpendel und Drehimpuls
julian-apostata
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https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45569_Doppelpendel.GIF Das theoretische Minimum (von Leonard Susskind) Ich arbeite mich gerade durch dieses Buch hindurch und bin gerade bei den Seiten 108.110. Folgende Skizze ist dort abgebildet. Beide Hebel sind gleich lang. Und auch die beiden Massen sind gleich. Die kartesischen Koordinaten für m_1 und m_2 lauten. $\\x_1=\sin\theta\qquad y_1=\cos\theta\\x_2=\sin\theta+\sin(\theta+\alpha)\qquad y_2=\cos\theta+\sin(\theta+\alpha)$ Die Koordinaten nach t abgeleitet, quadriert und halbiert ergibt die kinetische Energie der beiden Massen und damit auch die Lagrangefunktion, wenn keine Gravitation im Spiel ist. $L=\frac{\dot{\theta^2}}{2}+\frac{\dot{\theta}^2+(\dot{\theta}+\dot{\alpha})^2}{2}+\dot{\theta}(\dot{\theta}+\dot{\alpha})cos\alpha$ So steht's im Buch drin und ich hab es so weit sogar selbst hin gekriegt. Ich hab mir übrigens dieselbe Narrenfreiheit wie Herr Susskind erlaubt und einfach den Faktor mr² weg gelassen. Susskind hat hier aufgehört, aber ich hab noch das da gemacht. $L=\left(\frac{3}{2}+\cos\alpha\right)\dot{\theta}^2+\frac{\dot{\alpha}^2}{2}+(1+\cos\alpha)\dot{\theta}\dot{\alpha}$ Und nun bekomm ich etwas merkwürdiges $p=mr^2(3+2\cos\alpha)\dot{\theta}\qquad\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}mr^2(3+2\cos\alpha)\dot{\theta}=0$ Der zu Theta konjugierte Impuls ist konstant, weil ein ungepunktetes Theta nirgendwo in L zu finden ist. Und in der Klammer steht 5 bei alfa=0° und 1 bei alfa=180°. Dementsprechend muss sich dann auch die Winkelgeschwindigkeit anpassen und damit ist der Drehimpuls von m_1 nicht konstant. Hier breche ich vorerst ab. Vielleicht entdeckt ja irgendjemand einen Fehler in meinen Überlegungen. Also dann bis morgen.


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-10

\quoteon(2022-09-10 17:50 - julian-apostata im Themenstart) Und nun bekomm ich etwas merkwürdiges $p=mr^2(3+2\cos\alpha)\dot{\theta}$ \quoteoff Du scheinst den dritten Summanden deiner Lagrangefunktion zu ignorieren. \quoteon(2022-09-10 17:50 - julian-apostata im Themenstart) und damit ist der Drehimpuls von m_1 nicht konstant. \quoteoff Warum erwartest du denn, dass dieser Drehimpuls konstant sein sollte? --zippy


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julian-apostata
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-11

Okay, was mach ich denn jetzt mit dem dritten Summanden? Herr Susskind beschreibt die Vorgehensweise beim Lagrangeformalismus leider ziemlich unzureichend. $L=\left(\frac{3}{2}+\cos\alpha\right)\dot{\theta}^2+\frac{\dot{\alpha}^2}{2}+(1+\cos\alpha)\dot{\theta}\dot{\alpha}$ Ist denn folgende Bewegungsgleichung überhaupt richtig? $(3+2\cos\alpha)\ddot{\theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}[(1+\cos\alpha)\dot{\theta}\dot{\alpha}]$ Wann ja, kommt dann das raus? $(3+2\cos\alpha)\ddot{\theta}=(1+\cos\alpha)\ddot{\alpha}$


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-11

\quoteon(2022-09-11 09:59 - julian-apostata in Beitrag No. 2) Okay, was mach ich denn jetzt mit dem dritten Summanden? \quoteoff Warum solltest du diesen Summanden irgendwie anders als die übrigen behandeln? Du rechnest einfach $p_\theta={\partial L\over\partial\dot\theta}$ aus. \quoteon(2022-09-11 09:59 - julian-apostata in Beitrag No. 2) Ist denn folgende Bewegungsgleichung überhaupt richtig? $(3+2\cos\alpha)\ddot{\theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}[(1+\cos\alpha)\dot{\theta}\dot{\alpha}]$ \quoteoff Nein.


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julian-apostata
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-11

\quoteon(2022-09-11 10:09 - zippy in Beitrag No. 3) Du rechnest einfach $p_\theta={\partial L\over\partial\dot\theta}$ aus. \quoteoff Dann erhalte ich also: $\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=(3+2\cos\alpha)\dot{\theta}+(1+\cos\alpha)\dot{\alpha}$ Sollte das jetzt wieder falsch sein, was wäre dann richtig?


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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-11

Das ist richtig. Genauso rechnest du jetzt ${\partial L\over\partial\dot\alpha}$ aus und erhältst dann die beiden Bewegungsgleichungen ${\mathrm d\over\mathrm dt} {\partial L\over\partial\dot\theta}={\partial L\over\partial\theta}$ und ${\mathrm d\over\mathrm dt}{\partial L\over\partial\dot\alpha}= {\partial L\over\partial\alpha}$. Und wegen $0={\partial L\over\partial\theta}$ sagt die erste Gleichung, dass $p_\theta$ ein Integral der Bewegung ist.


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julian-apostata
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-11

\quoteon(2022-09-11 13:37 - zippy in Beitrag No. 5) ${\mathrm d\over\mathrm dt} {\partial L\over\partial\dot\theta}={\partial L\over\partial\theta}$ und ${\mathrm d\over\mathrm dt}{\partial L\over\partial\dot\alpha}= {\partial L\over\partial\alpha}$. \quoteoff Ich probier's mal $\\(3+2\cos\alpha)\ddot{\theta}+(1+2\cos\alpha)\ddot{\alpha}=0\\\\\ddot{\alpha}+(1+\cos\alpha)\ddot{\theta}=-\dot{\theta}\dot{\alpha}\sin\alpha$ Da ich nicht sicher bin, ob's stimmt, unterlass ich erst mal einen Interpretationsversuch. Dieser Lagrangeformalismus ist einfach noch zu neu für mich.


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zippy
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-12

Es sieht für mich so aus, als hättest du beim Ableiten die Produktregel nicht konsequent angewandt (ich habe es aber nicht im Detail nachgerechnet). Dass $p_\theta$ ein Integral der Bewegung ist, kannst du ausnutzen, um $\dot\theta$ durch $\alpha$ und $\dot\alpha$ auszudrücken und damit zu einer DGL für $\alpha$ allein zu kommen.


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julian-apostata
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-12

@Zippy $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\dot{\theta}}\dot{\theta}\dot{\alpha}=\frac{d\dot{\theta}}{d\dot{\theta}}\dot{\alpha}+\dot{\theta}\frac{d\dot{\alpha}}{d\dot{\theta}}=\dot{\alpha}+\dot{\theta}\frac{d\dot{\alpha}}{d\dot{\theta}}$ Ich denk, ich hab hier die Produktregel richtig angewandt. Der letzte Summand gefällt mir aber nicht. Kann man das noch vereinfachen? Das Folgende sieht auch nicht so toll aus, aber ist es wenigstens korrekt? $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}\cos(\alpha)\dot{\theta}\dot{\alpha}=-\sin(\alpha)\dot{\theta}\dot{\alpha}+\cos(\alpha )\frac{d\dot{\theta}}{d\alpha}\dot{\alpha}+\cos(\alpha)\dot{\theta}\frac{d\dot{\alpha}}{d\alpha}$


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julian-apostata
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-12

\quoteon(2022-09-12 11:10 - zippy in Beitrag No. 7) Dass $p_\theta$ ein Integral der Bewegung ist, kannst du ausnutzen, um $\dot\theta$ durch $\alpha$ und $\dot\alpha$ auszudrücken \quoteoff Ich bin mir nicht sicher, ob ich das verstanden habe. Kann man das eventuell so formulieren? $p_\theta =\int f(\theta)$


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zippy
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-09-12

\quoteon(2022-09-12 17:04 - julian-apostata in Beitrag No. 8) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\dot{\theta}}\dot{\theta}\dot{\alpha}=\frac{d\dot{\theta}}{d\dot{\theta}}\dot{\alpha}+\dot{\theta}\frac{d\dot{\alpha}}{d\dot{\theta}}=\dot{\alpha}+\dot{\theta}\frac{d\dot{\alpha}}{d\dot{\theta}}$ \quoteoff In der Lagrangefunktion sind $\dot\alpha$ und $\dot\theta$ einfach Variablen, nach denen in ${\partial L\over\partial\dot\alpha}$ und ${\partial L\over\partial\dot\theta}$ partiell differenziert wird. Folglich ist$$ {\partial\over\partial\dot\theta}\;\dot\theta\dot\alpha = \dot\alpha \;. $$Aber für die Zeitableitung ${\mathrm d\over\mathrm dt}{\partial L\over\partial\dot\alpha}$ musst du die Funktionen $\alpha(t)$ und $\theta(t)$ in die Lagrangefunktion einsetzen und dann nach $t$ differenzieren. Dabei hast du Probleme. \quoteon(2022-09-12 17:34 - julian-apostata in Beitrag No. 9) Kann man das eventuell so formulieren? $p_\theta =\int f(\theta)$ \quoteoff Ich weiß nicht, worauf du damit hinauswillst. Was ich meinte ist, dass du die Gleichung$$p_\theta=(3+2\cos\alpha)\dot{\theta}+(1+\cos\alpha)\dot{\alpha}$$einfach nach $\dot\theta$ auflöst und damit $\dot\theta$ durch die Konstante $p_\theta$ und die Variablen $\alpha$ und $\dot\alpha$ ausdrückst. \quoteon(2022-09-11 14:40 - julian-apostata in Beitrag No. 6) Dieser Lagrangeformalismus ist einfach noch zu neu für mich. \quoteoff Vielleicht solltest du dann eher zu einem ausführlicheren Buch greifen.


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julian-apostata
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  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-13

$\\\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=p_\theta =(3+2\cos\alpha)\dot{\theta}+(1+\cos\alpha)\dot{\alpha}\\\\\dot{\theta }=\frac{p_\theta-(1+\cos\alpha)\dot{\alpha}}{(3+2\cos\alpha)}$ Okay, das war einfach. Und ich dachte, dass ich bei der partiellen Ableitung schon die Produktregel anwenden sollte. So hab ich dich zumindest verstanden. Nur, welchen Sinn hat jetzt die letzte Umformung? Gilt denn nicht $p_\theta=\dot{\theta}\text{ ?}$


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zippy
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  Beitrag No.12, eingetragen 2022-09-13

\quoteon(2022-09-13 15:54 - julian-apostata in Beitrag No. 11) Gilt denn nicht $p_\theta=\dot{\theta}\text{ ?}$ \quoteoff Nein, warum sollte das gelten?


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julian-apostata
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  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-14

@Zippy Eine Begründung für meine Behauptung bring ich dann später. Aber vielleicht könntest du inzwischen auf deine Weise den Zusammenhang zwischen den beiden Winkelgeschwindigkeiten aufzeigen, wenn du willst. $\\L=\left(\frac{3}{2}+\cos\alpha\right)\dot{\theta}^2+\frac{\dot{\alpha}^2}{2}+(1+\cos\alpha)\dot{\theta}\dot{\alpha}\\\\\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=p_\theta=(3+2\cos\alpha)\dot{\theta}+(1+\cos\alpha)\dot{\alpha}=\dot{\theta}$ Und wenn ich jetzt das p links liegen lasse, erhalte ich nach ein paar Umformungen das da. $2\dot{\theta}=-\dot{\alpha}$


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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-14

Leute, vergesst bitte meinen Quatsch von heute vormittag. Ich hab's mal kurz simuliert. Die äußere Masse verhält sich dabei wie ein Fadenpendel, während die innere Masse eine Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ausführt. Und das widerspricht eindeutig der Erhaltung der kinetischen Energie. Also, mir fällt heute nichts Vernünftiges mehr ein. Vielleicht schaut's morgen wieder besser aus.


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  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-15

Von meinem gestrigen Geschwätz muss ich mich heute schon wieder distanzieren. Folgende Animation ist mir eingefallen nachdem ich vor etlichen Jahren bei einem Volksfestbesuch das Gefährt "breakdance" ein wenig benommen verlassen habe. https://www.geogebra.org/m/XgKRXufE "Ani" startet(stoppt) die Animation "Stangen" macht Hebel sichtbar(unsichtbar) "Kurve" macht Kurve sichtbar(unsichtbar) Und jetzt setzt mal r_1=r_2 und w_1=-w_2 (die Winkel hab ich damals anders definiert als Herr Susskind) Dann simuliert ihr genau die Lösung, die ich in Beitrag 13 ermittelt habe. Die Masse m_2 beschreibt keine Kurve mehr, sondern eine waagrechte Strecke. Wenn m_2 die Mitte der Strecke erreicht hat, dann ist seine Geschwindigkeit doppelt so hoch, wie die von m_1. An den Rändern beträgt sie null. Die kinetische Energie beträgt an den Rändern 0, Dafür hat sie maximale potentielle Energie. Die maximale kinetische Energie beträgt 2.5*m_1*r*w_1². Das selbe erhalte ich auch bei obiger Lösung. Die Energieerhaltung scheint also erfüllt zu sein. Und die Susskindforderung (Drehimpuls bleibt erhalten) sowieso, weil m_1 eine Kreisbahn beschreibt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit und m_2 gar keinen Drehimpuls erhält. Wie korrekt meine Überlegungen sind, weiß ich nicht. Es wäre halt schön, wenn jemand einfach eine korrekte Rechnung präsentieren könnte und ich dann sehen könnte, wo sich bei mir Denkfehler eingeschlichen habe. @zippy siehe Beitrag 14 \dot{theta}=p_\theta und deswegen die 2.Gleichung Wie gesagt, warum keine Rechnung präsentieren das würde mir viel mehr helfen wie beispielsweise folgende Bemerkung ""ein Integral der Bewegung" die ich nicht ansatzweise verstehe.


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zippy
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  Beitrag No.16, eingetragen 2022-09-15

\quoteon(2022-09-15 16:10 - julian-apostata in Beitrag No. 15) das würde mir viel mehr helfen wie beispielsweise folgende Bemerkung ""ein Integral der Bewegung" die ich nicht ansatzweise verstehe. \quoteoff \quoteon(2022-09-12 18:11 - zippy in Beitrag No. 10) Vielleicht solltest du dann eher zu einem ausführlicheren Buch greifen. \quoteoff


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Das Problem, das ich mit Susskind habe, ist Folgendes: Er definiert die beiden Drehwinkel derart ungeschickt, dass am Ende in der L-Gleichung nur einer der beiden Winkel vorkommt. Wie soll ich als Anfänger dann eine partielle Ableitung über einen "verschwundenen Winkel" bilden können? https://de.wikipedia.org/wiki/Doppelpendel Da geht man bei Wikipedia schlauer vor. Ich hab der Einfachheit halber m_1,m_2,l_1 und l_2 auf 1 gesetzt und raus kommt das, was ich in der Anlage oben hin geschrieben habe. Leider hat Wikipedia, dort wo ich raus kriege $\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}$( wo die Pfeile hin zeigen)$\dot{\theta_2}^2$ gesetzt. https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/45569_C.GIF


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  Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-17




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zippy
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-09-17

\quoteon(2022-09-17 15:30 - julian-apostata in Beitrag No. 17) Das Problem, das ich mit Susskind habe, ist Folgendes: Er definiert die beiden Drehwinkel derart ungeschickt, dass am Ende in der L-Gleichung nur einer der beiden Winkel vorkommt. \quoteoff Die generalisierten Koordinaten so zu wählen, dass die Lagrangefunktion von einigen davon nicht abhängt, erleichtert einem die Lösung der Bewegungsgleichungen erheblich, weil die zugehörigen Impulse erhalten sind (wie hier $p_\theta$). Susskinds Wahl ist also das Gegenteil von "ungeschickt". \quoteon(2022-09-17 15:30 - julian-apostata in Beitrag No. 17) Wie soll ich als Anfänger dann eine partielle Ableitung über einen "verschwundenen Winkel" bilden können? \quoteoff Kannst du die Ableitung der Funktion $f(x)=7$ nach $x$ bilden? Dann solltest du auch eine Lagrangefunktion nach einer Variablen ableiten können, die in ihr nicht auftaucht. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.17 begonnen.]


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\quoteon(2022-09-17 15:47 - zippy in Beitrag No. 19) Kannst du die Ableitung der Funktion $f(x)=7$ nach $x$ bilden? \quoteoff Natürlich ist die Ableitung gleich 0. Seitdem ich mich allerdings mit dem Lagrangeformalismus beschäftige, bin ich mir überhaupt nicht mehr sicher, was von dem, was ich vor 40 Jahren im Matheunterricht gelernt habe, überhaupt noch gültig ist. Siehe Anlage in #17 Wenn Wikipedia $\dot{\theta_2}^2$ setzt, wo ich $\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}$ ermittle, weiß ich nicht, wie sich das mit meinem Schulwissen vereinbaren lässt. Und ich glaube nicht, dass es irgendwo auf diesem Planeten ein Buch gibt, das mir diese einfache Frage beantwortet.


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zippy
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  Beitrag No.21, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-18 09:32 - julian-apostata in Beitrag No. 20) Wenn Wikipedia $\dot{\theta_2}^2$ setzt, wo ich $\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}$ ermittle, weiß ich nicht, wie sich das mit meinem Schulwissen vereinbaren lässt. \quoteoff Dieses Problem hatte ich doch oben bereits angesprochen: \quoteon(2022-09-12 18:11 - zippy in Beitrag No. 10) Aber für die Zeitableitung ${\mathrm d\over\mathrm dt}{\partial L\over\partial\dot\alpha}$ musst du die Funktionen $\alpha(t)$ und $\theta(t)$ in die Lagrangefunktion einsetzen und dann nach $t$ differenzieren. Dabei hast du Probleme. \quoteoff Also ist$$ {\mathrm d\over\mathrm dt}{\partial L\over\partial\dot\theta_1} = {\mathrm d\over\mathrm dt}\left[ 2\dot\theta_1+\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right] = 2\ddot\theta_1+\ddot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2) \color{red}{ +\dot\theta_2^2\sin(\theta_1-\theta_2) -\dot\theta_1\dot\theta_2\sin(\theta_1-\theta_2)} \;. $$In deiner Rechnung fehlen die roten Terme.


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julian-apostata
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  Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-18

Das mit den beiden Zusatztermen begreife ich noch immer nicht. Aber ich war heute mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus Und da wird diese Seite verlinkt. https://itp.uni-frankfurt.de/~hees/faq-pdf/lagrange.pdf Da wird sowohl Rollpendel als auch Doppelpendel ausführlich behandelt. Und damit werde ich mich ab morgen ausführlich beschäftigen. Vielleicht erhalte ich dann die Erleuchtung.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
zippy
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-09-18

\quoteon(2022-09-18 15:22 - julian-apostata in Beitrag No. 22) Das mit den beiden Zusatztermen begreife ich noch immer nicht. \quoteoff In$${\mathrm d\over\mathrm dt}\left[ 2\dot\theta_1+\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)\right]$$tauchen vier Funktionen der Zeit auf. Von links nach rechts sind das $\dot\theta_1$, $\dot\theta_2$, $\theta_1$, $\theta_2$. Du leitest aber nur die ersten beiden davon ab und vergisst die beiden anderen.


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