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| Autor |
 Gleichheit zweier Wahrscheinlichkeiten? |
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Benny123
Junior 
Dabei seit: 12.09.2021
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2022-09-11
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Hallo zusammen,
ich habe ein paar Wahrscheinlichkeiten ermittelt und eine Gleichheit festgestellt, die ich nicht ganz nachvollziehen kann. Daher bitte ich um eine kurze Kontrolle und einer Begründung für die Gleichheit der zum Schluss gezeigte Wahrscheinlichkeiten.
Seien \(X_0,X_1,Y\in \mathbb{R}\) unabhängige Zufallsvariabelen mit \(X_0,X_1\sim Exp(\lambda)\) und \(Y\sim Exp(\mu)\). Eine schnelle Berechnung ergibt dann für \(0\le z \in \mathbb{R}\)
\[F_{Y-X_0}(z)=P(Y-X_0\le z)=\int\limits_{-\infty}^\infty P(Y-X_0\le z\mid X_0=x)\cdot f_{X_0}(x) \ dx \]
\[=\int\limits_{-\infty}^\infty P(Y\le z+x)\cdot f_{X_0}(x) \ dx =\int\limits_{-\infty}^\infty F_Y(z+x) \cdot f_{X_0}(x) \ dx\]
\[=1-\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\exp(-\mu z)\]
sowie
\[F_{Y-X_0-X_1}(z)=P(Y-X_0-X_1\le z)=\int\limits_{-\infty}^\infty P(Y-X_0-X_1\le z\mid X_1=x)\cdot f_{X_1}(x) \ dx \]
\[=\int\limits_{-\infty}^\infty P(Y-X_0\le z+x)\cdot f_{X_1}(x) \ dx =\int\limits_{-\infty}^\infty F_{Y-X_0}(z+x) \cdot f_{X_1}(x) \ dx\]
\[=1-\frac{\lambda^2}{(\lambda+\mu)^2}\exp(-\mu z)\]
Damit ergibt sich also
\[P(Y-X_0>0)=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\]
sowie
\[P(Y-X_0-X_1>0)=\frac{\lambda^2}{(\lambda+\mu)^2}\]
Mit dem Satz über die totale Wahrscheinlichkeit und aus \(X_0,X_1,Y\ge 0\) folgt doch aus
\[P(Y-X_0-X_1>0)=P(Y-X_0>0)\cdot P(Y-X_0-X_1>0\mid Y-X_0>0)+P(Y-X_0<=0)\cdot P(Y-X_0-X_1>0\mid Y-X_0<=0)\]
\[=P(Y-X_0>0)\cdot P(Y-X_0-X_1>0\mid Y-X_0>0)\]
dass
\[P(Y-X_0-X_1>0\mid Y-X_0>0)=\frac{P(Y-X_0-X_1>0)}{P(Y-X_0>0)}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}=P(Y-X_0>0)\]
Jetzt ist es doch so, dass offensichtlich \(Y-X_0>Y-X_0-X_1\). Wie kann es denn sein, dass die Wahrscheinlichkeit, dass \(Y-X_0>0\) genauso groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit von \(Y-X_0-X_1>0\) mit der Kenntnis, dass \(Y-X_0>0\), obwohl \(Y-X_0\) ganz anders verteilt ist als \(Y\). Nach meinem Empfinden müsste \(P(Y-X_0-X_1>0\mid Y-X_0>0)0)\)
Wenn ich alles richtig berechnet habe, verstehe ich dann meine letzte Überlegung nicht. Wenn sich ein Fehler eingeschlichen hat, wäre ich für einen Hinweis dankbar.
Vielen Dank schon einmal
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 Profil
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4243
Wohnort: Raun
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-24
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Hallo Benny123,
auch nach meinem Eindruck müsste die Ungleichung gelten und daran würde sich nichts ändern, wenn ich es versuchen und schaffen würde, deine Berechnung zu verstehen. Deshalb will ich eine andere Erklärung finden. Zur Exponentialverteilung steht geschrieben, dass sie eine Eigenschaft hat, welche gedächtnislos genannt wird. Etwa in diese Richtung geht ja dein Ergebnis. Deshalb schreibe ich \(P(Y-X_0 > 0)\) als \(P(Y-X_0 > 0) = (P(Y-X_0 > 0 | Y > 0)\). Wenn es gelingt zu zeigen, dass die rechte Seite gedächtnislos ist, also dass \((P(Y-X_0 > C | Y > C) = (P(Y-X_0 > 0 | Y > 0)\) für beliebige C, dann kann man das als Beweis für die Behauptung verwenden: Die Verteilungsfunktionen \(F_{Y-X_0}(z)\) und \(F_{Y-X_0-X_1}(z)\) stimmen ab \(z=0\) mit Verteilungsfunktionen \(F_{Y}(z+C)\) für geeignete Konstanten C überein und da könnte man dann die Gedächtnislosigkeit anwenden.
$
\begin{tikzpicture}
\begin{scope}[scale=5,shift={(0,0)}]
%Koordinatensystem
\draw[-Stealth] (-1.4,0) -- (2.1,0) node[below] {z};
\draw[-Stealth] (0,0) -- (0,1.2) node[right] {$F(z)$};
\draw (0,0) node[below] {0} +(0,0.01) -- +(0,-0.01) ;
\draw (-1,0) node[below] {-1} +(0,0.01) -- +(0,-0.01) ;
\draw (1,0) node[below] {1} +(0,0.01) -- +(0,-0.01) ;
\draw (2,0) node[below] {2} +(0,0.01) -- +(0,-0.01) ;
\draw (0,1) node[left] {1} +(0.01,0) -- +(-0.01,0) ;
\draw[orange,thick,samples=125,domain=0:2] plot (\x,{1-exp(-0.7*\x)}) node[above right] {$F_{X_0}(z)$} node[below right] {$F_{X_1}(z)$};
\draw[blue,thick,samples=125,domain=0:2] plot (\x,{1-exp(-2*\x)}) node[right] {$F_Y(z)$};
\draw[blue,thick,densely dotted,samples=125,domain=0:1.7] plot (\x,{1-0.7/2.7*exp(-2*\x)}) (0.5,0.82) node {$F_{Y-X_0}(z)$};
\draw[blue,thick,densely dotted,samples=125,domain=0:1.2] (0,0) -- (0,0.935) plot (\x,{1-(0.7/2.7)^2*exp(-2*\x)}) (0.4,1.03) node {$F_{Y-X_0-X_1}(z)$};
\draw[blue,loosely dotted,samples=125,domain=-0.666:0] plot (\x,{1-exp(-2*(\x+ln(1.96)))}) (-0.3,0.3) node {$F_Y(z+C_0)$};
\draw[blue,loosely dotted,samples=125,domain=-1.3455:0] plot (\x,{1-exp(-2*(\x+2*ln(1.96)))}) (-1,0.7) node {$F_Y(z+C_1)$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
$
Viele Grüße,
Stefan
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