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| Autor |
 Schnitt messbarer Mengen ist σ-Algebra |
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Durmdof14
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 21
 |  Themenstart: 2022-09-12
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Hallo zusammen ich habe folgende Aufgabe:
Sei sum() eine Sigma-Algebra über \Omega und A \el\ sum(). Zeige, dass sum()_A := menge(B\cut\ A|B\el\ sum()) eine Sigma-Algebra über A ist.
Ich kenne die Definition einer Sigma algebra und weiß auch was zu prüfen ist. Aber ich scheitere schon daran zu zeigen, dass A \el\ sum()_A.
Kann mir da jemand helfen ?
Vielen Dank schon mal im Voraus
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Mano
Aktiv 
Dabei seit: 27.05.2020
Mitteilungen: 46
Wohnort: NRW
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\)
Hallo,
das spezielle Problem $A\in\Sigma_A$ kannst du lösen, indem du $B=A\in\Sigma$ in die Definition von $\Sigma_A$ einsetzt, denn $A\cup A=A$. Ansonsten schreib wirklich auf, was zu prüfen ist.
Ich mache den Anfang für das Komplement:
Sei $P=Q\cap A\in\Sigma_A$ mit $Q\in\Sigma$. Sei $\overline Q=\Omega\setminus Q$. Da $\Sigma$ eine $\sigma$-Algebra ist, ist $\overline Q\in\Sigma$. Es folgt $\overline{P} := \overline{Q}\cap A\in\Sigma_A$. Es gilt aber $P\cap\overline{P}$. (Nachprüfen)
Übrigens: $\Sigma$ schreibst du als \Sigma.\(\endgroup\)
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Durmdof14
Wenig Aktiv
Dabei seit: 16.03.2021
Mitteilungen: 21
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-12
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\quoteon(2022-09-12 15:59 - Mano in Beitrag No. 1)
Hallo,
das spezielle Problem $A\in\Sigma_A$ kannst du lösen, indem du $B=A\in\Sigma$ in die Definition von $\Sigma_A$ einsetzt, denn $A\cup A=A$. Ansonsten schreib wirklich auf, was zu prüfen ist.
Ich mache den Anfang für das Komplement:
Sei $P=Q\cap A\in\Sigma_A$ mit $Q\in\Sigma$. Sei $\overline Q=\Omega\setminus Q$. Da $\Sigma$ eine $\sigma$-Algebra ist, ist $\overline Q\in\Sigma$. Es folgt $\overline{P}\coloneqq\overline{Q}\cap A\in\Sigma_A$. Es gilt aber $P\cap\overline{P}$. (Nachprüfen)
Übrigens: $\Sigma$ schreibst du als \Sigma.
\quoteoff
Danke schon mal für die Hilfe und den Denkanstoß!
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
helmetzer
Senior
Dabei seit: 14.10.2013
Mitteilungen: 1605
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-13
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Allgemeiner: Es handelt sich um die Urbilder bez. der kanonischen Injektion.
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