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| Autor |
 Rand vom Rand |
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PinkEpsilon
Neu 
Dabei seit: 14.09.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-09-14
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Hallöchen,
Wir diskutieren seit einer längeren Zeit, ob der Rand einer Menge per Definition einen weiteren eigenen Rand besitzt oder er selbst der Rand von sich selbst ist. Sorry für die vermutlich dumme Frage, aber es lässt uns keine Ruhe ;)
Vielen Dank im Voraus!🤗
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 Profil
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\D}{\mathscr{D}}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\variety}{\mathcal{V}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\sep}{\mathrm{sep}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}
\newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}
\newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}
\newcommand{\map}{\operatorname{map}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}
\newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}}
\newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}
\newcommand{\conv}{\mathrm{conv}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}}
\newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\KO}{\operatorname{KO}}
\newcommand{\BO}{\operatorname{BO}}
\newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}}
\newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\)
Tipp: Was ist der Rand von $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ (mit der Standardtopologie)?\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8388
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-14
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Hallo PinkEpsilon und willlommen auf dem Matheplaneten,
\quoteon(2022-09-14 14:49 - PinkEpsilon im Themenstart)
Sorry für die vermutlich dumme Frage, aber es lässt uns keine Ruhe ;)
\quoteoff
Das ist überhaupt keine dumme Frage sondern eine völlig natürliche Fragestellung.
Um sie zu beantworten, hilft es, sich entweder
- die Definitionen genau anzusehen, um einen hoffentlich nicht allzu komplizierten Beweis zu finden oder
- viele Beispiele anzusehen, um ein Gegenbeispiel zu finden.
Einen guten Tipp hast du ja bereits erhalten.
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PinkEpsilon
Neu 
Dabei seit: 14.09.2022
Mitteilungen: 3
|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-14
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Vielen Dank für die Hilfe!😄
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-09-15
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Hat sich euer Problem damit geklärt? :-)
Ich will auch nochmal StrgAltEntfs wichtigen Hinweis betonen: das ist keine dumme Frage, habe bitte keine Angst Fragen zu stellen. Alle (begründete) Fragen sind gute Fragen. Wenn dir die Antwort nicht klar ist, dann ist es eine gute Frage. Selbstbewusst sein!
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Ehemaliges_Mitglied
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-16
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\IN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\IQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\IR}{\mathbb{R}}\)
Hi,
ich finde die Frage auch sehr berechtigt und gut. Und sie lädt auch zu weiteren Überlegungen ein.
Zur eigentlichen Frage:
Der Rand des Randes ist stets eine Teilmenge der Randes.
Um das einzusehen, sei zunächst $X$ eine Menge, $T$ eine Topologie über $X$ und $M$ eine Teilmenge von $X$. Ferner notiert jeweils $\overline M$ den Abschluss, $M^\circ$ das Innere und $\partial M$ den Rand von $M$. Außerdem sei $\uplus$ die disjunkte Vereinigung.
Dann gilt $\overline{\partial M}= \left( \partial M \right)^\circ \uplus \partial \left( \partial M \right)$. Da $\partial M$ stets abgeschlossen ist und $\overline{\partial M}$ der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen ist, die $\partial M$ enthalten, gilt also $\partial M=\overline{\partial M}=\left( \partial M \right)^\circ \uplus \partial \left( \partial M \right)$ und somit $\partial \left( \partial M \right) \subset \partial M\;\;\square$
Gleichzeitig sieht man, dass anders herum $\partial M \subset \partial \left( \partial M \right)$ genau dann gilt, falls $\left( \partial M \right)^\circ=\emptyset$ gilt (dass dies nicht immer der Fall sein kann, zeigt das Beispiel von $\IR$ mit der Standardtopologie und der Teilmenge $\IQ$).
Wegen $\partial M=\overline{\partial M}$ ist dies gleichbedeutend damit, dass $\partial M$ nirgends dicht in $X$ ist.
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Nirgends_dichte_Menge
Jetzt könnte man sich weiter fragen, für welche topologischen Räume $(X,T)$ für jede Teilmenge $M$ von $X$ dann $\partial M$ nirgends dicht in $X$ ist und wie man die klassifizieren kann.
Zunächst müsste man natürlich zeigen, dass es überhaupt topologische Räume mit der gewünschten Eigenschaft gibt und man $M$ nicht immer so wählen kann, dass $\partial M$ nicht nirgends dicht in $X$ ist.
Naheliegend wäre es sicherlich, bei sehr einfachen topologischen Räumen anzufangen.
Wenn man da keine Beispiele findet, könnte einem der Satz von Baire behilflich sein. Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Baire
Nach dem Satz von Baire reicht es, dass $(X,T)$ ein vollständiger metrischer Raum ist und für alle $M\subset X$ dann $\partial M$ abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ohne innere Punkte ist.
Damit muss man dann nicht zeigen, dass $\partial M$ keine inneren Punkte besitzt, sondern dass $\partial M$ lediglich abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ohne innere Punkte ist, was eine schwächere Aussage darstellt, da $\partial M$ als abgeschlossene Menge selber eine solche (einfache) Vereinigung wäre, wenn es keine inneren Punkte enthielte.
Überhaupt würden nach dem Satz von Baire dann auch alle Aussagen gelten, die allgemein für Baire-Räume gelten, wenn $(X,T)$ ein vollständiger metrischer Raum ist.
Vielleicht kann man die Voraussetzungen an einem Punkte aber auch noch abwandeln und etwas Ähnliches zum Satz von Baire herausbekommen.
Genau genommen braucht man die Eigenschaften, dass wenn $N\subset X$ abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ohne innere Punkte ist, dann auch $N$ keine inneren Punkte besitzt, ja nur für jene $N$, für die ein $M\subset X$ existiert, so dass $N=\partial M$ gilt.
Im Ergebnis könnte man die Voraussetzungen abschwächen, dass $(X,T)$ ein vollständiger metrischer Raum sein muss.
Das könnte einem dabei helfen, einen passenden Raum zu finden (weil die Voraussetzungen weniger restriktiv sind und somit die Auswahl möglicher Räume größer ist) und im Weiteren überhaupt die topologischen Räume $(X,T)$ zu klassifizieren, für die für jede Teilmenge $M$ von $X$ dann $\partial M$ nirgends dicht in $X$ ist.
Viele Grüße
zathe\(\endgroup\)
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| PinkEpsilon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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