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Mathematik » Stochastik und Statistik » Beweis dieser Aussage über den bedingten Erwartungswert?
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Universität/Hochschule J Beweis dieser Aussage über den bedingten Erwartungswert?
Strandkorb
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  Themenstart: 2022-09-21

Ich habe eine Frage zum bedingten Erwartungswert von $X$ gegeben $Y$. Sei $Y$ eine diskrete Zufallsvariable mit Werten in $E$, dann definieren wir $E'=\{y\in E:\Bbb{P}(Y=y)>0\}$. Dort können wir $\forall X\in L^1(\Bbb{P})$ und $\forall y\in E'$ $$\Bbb{E}(X|Y=y)=\frac{\Bbb{E}(X\Bbb{1}_{Y=y})}{\Bbb{P}(Y=y)}=:\phi(y)$$berechnen. Wir definieren $$\Bbb{E}(X|Y)=\phi\circ Y=:\phi(Y)$$ Meine Frage ist nun, warum ich weiß, dass $$\Bbb{E}(|\Bbb{E}(X|Y)|)=\sum_{y\in E'} \Bbb{E}\left(|\Bbb{E}(X|Y)|\Bbb{1}_{Y=y}\right)$$ Ich meine, ich weiß, dass $Y$ diskret ist, also bedeutet es, dass es Werte in einer abzählbaren Menge annimmt, daher macht die Summe für mich Sinn. Außerdem sehe ich irgendwie, dass wir es als eine Partition schreiben wollen, deshalb haben wir die rechte Seite. Intuitiv sehe ich also, warum dies wahr sein sollte. Aber ich glaube, ich vergesse etwas in der mathematischen Argumentation. Könnte mir also vielleicht jemand explizit erklären, was in dieser Gleichung vor sich geht, also warum ich diese Partition auf diese Weise durchführen kann. Vielen Dank für Ihre Hilfe.


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-24

Hallo Strandkorb, die letzte Gleichung sehe ich nur als Anwendung der Definition des Erwartungswertes. Das sieht etwas unübersichtlich aus wegen der ineinandegeschachtelten \(\Bbb{E}\), doch für das innere \(\Bbb{E}(X|Y)\) kann man auch \(\phi(Y)\) schreiben. Nur die Schreibweise mit \(\Bbb(1)_{Y=y}\) ist mir nicht so geläufig und bin mir deshalb noch etwas unsicher. Viele Grüße, Stefan


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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 08:38 - StefanVogel in Beitrag No. 1) Nur die Schreibweise mit \(\Bbb(1)_{Y=y}\) ist mir nicht so geläufig und bin mir deshalb noch etwas unsicher. \quoteoff Dort steht $1_{Y=y}$ (ohne runde Klammern) und damit ist $1_{\{Y=y\}}$ gemeint, also eine Indikatorfunktion. Aufgrund der Definition von $E'$ gilt $1=\sum_{y\in E'}1_{\{Y=y\}}$ fast sicher und daraus folgt$$\def\E{\mathbb E} \E\bigl[|\E(X|Y)|\bigr] = \E\left[|\E(X|Y)|\cdot\sum\nolimits_{y\in E'}1_{\{Y=y\}}\right] = \sum_{y\in E'}\E\left[|\E(X|Y)|1_{\{Y=y\}}\right]$$--zippy


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Strandkorb
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

@Zippy Ah vielen Dank das macht sehr viel Sinn! Viele Grüsse Strandkorb


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