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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Ist das ein Fehler in der Aufgabenstellung? Es gibt doch nur einen Körperautomorphismus?
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Universität/Hochschule Ist das ein Fehler in der Aufgabenstellung? Es gibt doch nur einen Körperautomorphismus?
nikofld3
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_dfsd.png Ich soll zeigen, dass es der einzige Körperautomorphismus ist, es gibt doch sowieso nur einen Körperautomorphismus (und das immer), also die Abbildung auf sich selbst? Es kann doch, bei egal welcher Menge, keine zwei Körperautomorphismen geben?


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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-23

\quoteon(2022-09-23 18:41 - nikofld3 im Themenstart) Es kann doch, bei egal welcher Menge, keine zwei Körperautomorphismen geben? \quoteoff Hi nikofld3, doch, kann es. Der Körper der komplexen Zahlen hat die komplexe Konjugation z-->z^- als Körperautomorphismus. Gruß Buri


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nikofld3
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-23 18:51 - Buri in Beitrag No. 1) \quoteon(2022-09-23 18:41 - nikofld3 im Themenstart) Es kann doch, bei egal welcher Menge, keine zwei Körperautomorphismen geben? \quoteoff Hi nikofld3, doch, kann es. Der Körper der komplexen Zahlen hat die komplexe Konjugation z-->z^- als Körperautomorphismus. Gruß Buri \quoteoff Ja gut, aber hier habe ich ja nicht die Menge der komplexen Zahlen, sondern der Rationalen?


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Buri
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 17:30 - nikofld3 in Beitrag No. 2) aber hier habe ich ja nicht die Menge der komplexen Zahlen, sondern der Rationalen? \quoteoff Hi nikofld3, ja, der Körper der rationalen Zahlen ist ja auch starr, was hier zu beweisen ist. Es ist nur deine Formulierung "egal bei welcher Menge", die nicht stimmt. Merke: Körper der rationalen Zahlen: starr, Körper der komplexen Zahlen, endliche Körper außer von Primzahlordnung: nicht starr. Gruß Buri


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 17:30 - nikofld3 in Beitrag No. 2) Ja gut, aber hier habe ich ja nicht die Menge der komplexen Zahlen, sondern der Rationalen? \quoteoff Was meinst du dann damit: \quoteon(2022-09-23 18:41 - nikofld3 im Themenstart) Es kann doch, bei egal welcher Menge, keine zwei Körperautomorphismen geben? \quoteoff [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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nikofld3
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 17:46 - Buri in Beitrag No. 3) \quoteon(2022-09-24 17:30 - nikofld3 in Beitrag No. 2) aber hier habe ich ja nicht die Menge der komplexen Zahlen, sondern der Rationalen? \quoteoff Hi nikofld3, ja, der Körper der rationalen Zahlen ist ja auch starr, was hier zu beweisen ist. Es ist nur deine Formulierung "egal bei welcher Menge", die nicht stimmt. Merke: Körper der rationalen Zahlen: starr, Körper der komplexen Zahlen, endliche Körper: nicht starr. Gruß Buri \quoteoff Aso danke, aber warum hat dann z. b. Q[3] neben id noch einen weiteren Körperautomorpihsmus, dass ist doch keine komplexe Zahl und auch nicht endlich? Aber, dass man nur einen Körperautomorphimus hat, heißt ja nicht, dass man nur einen Körperisomoprhismus hat oder? [Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]


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nikofld3
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 17:47 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4) \quoteon(2022-09-24 17:30 - nikofld3 in Beitrag No. 2) Ja gut, aber hier habe ich ja nicht die Menge der komplexen Zahlen, sondern der Rationalen? \quoteoff Was meinst du dann damit: \quoteon(2022-09-23 18:41 - nikofld3 im Themenstart) Es kann doch, bei egal welcher Menge, keine zwei Körperautomorphismen geben? \quoteoff [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Ich war verwirrt bzw. bin es immer noch. Ich dachte ein Körperautomorphismus ist dadurch definiert, dass man auf sich selbst isomorph abbildet, wenn ich eine Menge hab, kann er doch nicht mit zwei verschiedenen Mengen auf sich selbst abbilden?


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Buri
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 17:50 - nikofld3 in Beitrag No. 5) Aso danke, aber warum hat dann z. b. Q[3] neben id noch einen weiteren Körperautomorpihsmus ... \quoteoff Hi nikofld3, Q[√3] ist eben auch nicht starr. Gruß Buri


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-09-24

\quoteon(2022-09-24 17:55 - nikofld3 in Beitrag No. 6) Ich war verwirrt bzw. bin es immer noch. Ich dachte ein Körperautomorphismus ist dadurch definiert, dass man auf sich selbst isomorph abbildet, wenn ich eine Menge hab, kann er doch nicht mit zwei verschiedenen Mengen auf sich selbst abbilden? \quoteoff Schau dir die Definition eines Automorphismus noch mal an. Ich vermute, dass du Automorphismus mit der identischen Abbildung verwechselst.


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nikofld3
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-24

Danke, habs jetzt kapiert und wollte das beweisen, dass die Identität der einzige Körperautomorphismus ist. Ein Schneller Beweis, dass nichts anderes ein Körperautomorphismus ist, ist der Hinweis, psi(0)=0 und psi(1)=1 Damit psi(0)=0 ist, heißt es ja, dass beim Term von psi keine Addition stattfindet, weil, wenn ich eine Addition hätte, so würde ich ja am Ende nicht 0 haben, mit psi(0). Bei psi(1)=1, weiß ich, dass ich keine zusätzliche Multiplikation habe, weil wenn ich eine Multiplikation mit einer Zahl von Q hätte, so würde ja bei 1 eingesetzt nicht 1 rauskommen. So weiß ich mit dem Hinweis, dass nur noch die Identität übrig bleibt. Aber wie formuliert man dies nun mathematisch?


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thureduehrsen
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-09-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Hallo nikofld3, \quoteon(2022-09-24 23:25 - nikofld3 in Beitrag No. 9) Aber wie formuliert man dies nun mathematisch? \quoteoff \[ \begin{array}{rcl}\psi(k)&=&\psi(k\cdot 1)\\[2mm]&=&\psi(1+\ldots+1)\\[2mm]&=&\psi(1)+\ldots+\psi(1)\end{array}\] ist ein Ansatz, den du formaler ausbauen kannst. mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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Wally
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-09-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) \quoteon Ein Schneller Beweis, dass nichts anderes ein Körperautomorphismus ist, ist der Hinweis, psi(0)=0 und psi(1)=1 \quoteoff Das gilt in \( \mathbb{C}\) mit der Konjugation auch. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-25

Gibt es eigentlich einen anderen Körperismorphismus von Q-->Q, außer die Id? Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder?


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Diophant
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-09-25

\quoteon(2022-09-25 17:05 - nikofld3 in Beitrag No. 12) Gibt es eigentlich einen anderen Körperismorphismus von Q-->Q, außer die Id? Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder? \quoteoff Vielleicht magst du einmal nachschlagen, was die Begriffe "Isomorphismus" und "Automorphismus" bedeuten bzw. wie sie zusammenhängen? Dann sollten sich die obigen Fragen von selbst erledigen, da die Antworten alle schon hier oder anderswo gegeben wurden. Gruß, Diophant


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nikofld3
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-25

\quoteon(2022-09-25 17:11 - Diophant in Beitrag No. 13) \quoteon(2022-09-25 17:05 - nikofld3 in Beitrag No. 12) Gibt es eigentlich einen anderen Körperismorphismus von Q-->Q, außer die Id? Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder? \quoteoff Vielleicht magst du einmal nachschlagen, was die Begriffe "Isomorphismus" und "Automorphismus" bedeuten bzw. wie sie zusammenhängen? Dann sollten sich die obigen Fragen von selbst erledigen, da die Antworten alle schon hier oder anderswo gegeben wurden. Gruß, Diophant \quoteoff Entschuldigung, klar Automorphismus ist ja Isomorphismus von Q-->Q, aber ich meinte anderen isomorphismus von Q-->irgendetwas. Also selbst da gibts ja nur id oder?


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Wally
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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-09-25

Du musst ganz dringend lernen, die Begriffe genau zu verwenden und erst nachzudenken, ehe du etwas postest. Was ist denn id zwischen verschiedenen Körpern? Viele Grüße Wally


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nikofld3
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  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-25

\quoteon(2022-09-25 20:49 - Wally in Beitrag No. 15) Du musst ganz dringend lernen, die Begriffe genau zu verwenden und erst nachzudenken, ehe du etwas postest. Was ist denn id zwischen verschiedenen Körpern? Viele Grüße Wally \quoteoff Keine Ahnung


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nikofld3
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  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-25

Ist der Beweis korrekt, um zu zeigen, dass die id der Körperisomorphismus ist? a,b€Z psi(a/b+a/b)=psi(a/b)+psi(a/b) und psi(a/b*a/b)=psi(a/b)*psi(a/b), das zeigt ja schon, dass ich einen Körperhomomorphismus habe. Dann noch Bijektivität, da muss ich ja einfach zeigen, dass f(x)=x surjektiv und injektiv ist, das erspare ich uns mal :). Aber so habe ich ja zumindest mal gezeigt, dass es ein Körperisomorphismus ist, wie kann ich nun zeigen, dass es ein Körperautomorphismus ist dafür mus sich ja zeigen, dass z. B. (a/b)+(a/b) auch in Q liegt und das gleiche für (a/b)*(a/b) oder? Ich weiß, dass a/b in Q liegt, da Q ja Brüche mit Zähler und Nenner in den ganzen Zahlen hat, muss ich das nun auch beweisen, dass dessen Addition und Multiplikation in Q liegt? Oder kann ich das mit der Abgeschlossenheit begründen?


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Wally
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  Beitrag No.18, eingetragen 2022-09-26

\quoteon(2022-09-25 22:30 - nikofld3 in Beitrag No. 17) Ist der Beweis korrekt, um zu zeigen, dass die id der Körperisomorphismus ist? \quoteoff Nein. Viele Grüße Wally


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juergenX
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  Beitrag No.19, eingetragen 2022-09-26

Moin, Wenn man den Koerper $\displaystyle\mathbb{Q},+,\cdot$ mit den Operationen + und 'mal" betrachtet so kann man leicht zeigen dass die Identität ein Automorphismus ist, da 1. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a+b) = \psi(a) +\psi(b)$ und 2. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a\cdot b) = \psi(a)\cdot\psi(b)$ ist. Alles andere würden keine Ring-, nicht mal Gruppenisomorphismen sein. Man kann auch z.B. Abbildungen $\displaystyle\mathbb{N} \Leftrightarrow{Q}$ darstellen, da N und Q abzaehlbar und gleichmächtig sind. Diese wären aber in keiner Weise isomorph. Was du aber suchst, ist eine Andere Abbildung $\displaystyle\varphi$, so dass die Regeln 1 und 2 erfüllt sind. Auf jeden Fall müsste wie ja auch von Dir angedeutet (3): $\displaystyle\varphi(0) = 0$ und $\displaystyle\varphi(1) =1$ sein. (Das zu beweisen ist möglich, wird aber hier in der Aufgabe vorrausgesetzt.) Alles andere würde wie gesagt in einen Widerspruch führen. Da wir von Q reden, soll es einen anderen Automorphismus $\displaystyle\omega (\alpha)$ geben, so dass $\displaystyle\exists\alpha,\omega: \omega (\alpha) \ne \alpha$. D.h. zumindest ein Element von Q, also hier $\displaystyle\alpha$ würde durch $\displaystyle\omega$ NIcht auf sich selbst abgebildet werden, und trotzdem (1) und (2) erfüllt sein. Also könnten wir oBdA für unsere unbekannte bijektive Abbildung $\displaystyle\omega: \mathbb {Q}\Leftrightarrow{Q}$ fordern $\displaystyle\omega(\frac{3}{4}) = \frac{4}{3}$ was man in einen Widerspruch zu (3) führen kann...


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nikofld3
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  Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26

\quoteon(2022-09-26 11:12 - juergenX in Beitrag No. 19) Moin, Wenn man den Koerper $\displaystyle\mathbb{Q},+,\cdot$ mit den Operationen + und 'mal" betrachtet so kann man leicht zeigen dass die Identität ein Automorphismus ist, da 1. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a+b) = \psi(a) +\psi(b)$ und 2. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a\cdot b) = \psi(a)\cdot\psi(b)$ ist. Alles andere würden keine Ring-, nicht mal Gruppenisomorphismen sein. Man kann auch z.B. Abbildungen $\displaystyle\mathbb{N} \Leftrightarrow{Q}$ darstellen, da N und Q abzaehlbar und gleichmächtig sind. Diese wären aber in keiner Weise isomorph. Was du aber suchst, ist eine Andere Abbildung $\displaystyle\varphi$, so dass die Regeln 1 und 2 erfüllt sind. Auf jeden Fall müsste wie ja auch von Dir angedeutet (3): $\displaystyle\varphi(0) = 0$ und $\displaystyle\varphi(1) =1$ sein. (Das zu beweisen ist möglich, wird aber hier in der Aufgabe vorrausgesetzt.) Alles andere würde wie gesagt in einen Widerspruch führen. Da wir von Q reden, soll es einen anderen Automorphismus $\displaystyle\omega (\alpha)$ geben, so dass $\displaystyle\exists\alpha,\omega: \omega (\alpha) \ne \alpha$. D.h. zumindest ein Element von Q, also hier $\displaystyle\alpha$ würde durch $\displaystyle\omega$ NIcht auf sich selbst abgebildet werden, und trotzdem (1) und (2) erfüllt sein. Also könnten wir oBdA für unsere unbekannte bijektive Abbildung $\displaystyle\omega: \mathbb {Q}\Leftrightarrow{Q}$ fordern $\displaystyle\omega(\frac{3}{4}) = \frac{4}{3}$ was man in einen Widerspruch zu (3) führen kann... \quoteoff Widerspruch zu (3), da man nich tmit 0 teilen darf, aber das ist ja jetzt nicht allgemein beweisen oder? Nur für den Fall, dass wir den Kehrwert betrachten, reicht das doch aus?


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nikofld3
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  Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55422_yx.png Wie kann überhauüt eien Divison hier existieren? Ich habe doch einen Körper, was meinen die mit z/m? Das geht doch eigentlich garnicht


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thureduehrsen
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  Beitrag No.22, eingetragen 2022-09-27

Hallo nikofld3, \quoteon(2022-09-27 01:09 - nikofld3 in Beitrag No. 21) Wie kann überhauüt eien Divison hier existieren? Ich habe doch einen Körper, was meinen die mit z/m? Das geht doch eigentlich garnicht \quoteoff Doch, das geht. mfg thureduehrsen


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ligning
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  Beitrag No.23, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-27 01:09 - nikofld3 in Beitrag No. 21) Wie kann überhauüt eien Divison hier existieren? Ich habe doch einen Körper, was meinen die mit z/m? Das geht doch eigentlich garnicht \quoteoff Mit $n/m$ meinen sie $n\cdot m^{-1}$. Körper sind doch gerade die Ringe, in denen eine Division (durch alles, was nicht Null ist) möglich ist.


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Wally
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  Beitrag No.24, eingetragen 2022-09-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Du bist in \( \IQ\). Da gibt es Brüche. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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nikofld3
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  Beitrag No.25, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

Aber der Körper hat doch nur + und *, ich habe dpcj garnicht geteilt difiniert? Und m*m^(-1) ist doch das neutrale Element und kein Bruch? Klar hat Q Brüche, aber doch nicht mein Körper?


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Diophant
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  Beitrag No.26, eingetragen 2022-09-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Die Division durch eine Zahl \(m\in\IZ\setminus\lbrace 0\rbrace\), also die Multiplikation mit dem Bruch \(1/m\) ist doch gerade das (multiplikativ) Inverse zur Multiplikation mit \(m\). Mache dir klar, dass das für alle \(m\in\IQ\setminus\lbrace 0\rbrace\) ebenfalls gelten muss. Oder noch anders: für jedes \(q=\frac{n}{m}\in\IQ\setminus\lbrace 0\rbrace\) ist die Multiplikation mit \[q^{-1}=\frac{m}{n}=\frac{1}{\frac{n}{m}}=\frac{1}{q}\] das multiplikativ Inverse. Vor dem Hintergrund denke ich manchmal, dass der im Deutschen übliche Begriff "Die vier Grundrechenarten" eigentlich ziemlich unglücklich ist: aus der Sicht der modernen Algebra sind es nur zwei... Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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Wally
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  Beitrag No.27, eingetragen 2022-09-27

Bist du noch bei der Aufgabe aus dem Themenstart? Viele Grüße Wally


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nikofld3
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  Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-27 14:21 - Diophant in Beitrag No. 26) Die Division durch eine Zahl \(m\in\IZ\setminus\lbrace 0\rbrace\), also die Multiplikation mit dem Bruch \(1/m\) ist doch gerade das (multiplikativ) Inverse zur Multiplikation mit \(m\). Mache dir klar, dass das für alle \(m\in\IQ\setminus\lbrace 0\rbrace\) ebenfalls gelten muss. Oder noch anders: für jedes \(q=\frac{n}{m}\in\IQ\setminus\lbrace 0\rbrace\) ist die Multiplikation mit \[\frac{m}{n}=\frac{1}{\frac{n}{m}}=\frac{1}{q}\] das multiplikativ Inverse. Vor dem Hintergrund denke ich manchmal, dass der im Deutschen übliche Begriff "Die vier Grundrechenarten" eigentlich ziemlich unglücklich ist: aus der Sicht der modernen Algebra sind es nur zwei... Gruß, Diophant \quoteoff Wie, wenn ich habe 10/49, wo ist das dann 10*(10)^-1?


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nikofld3
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  Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-27 15:11 - Wally in Beitrag No. 27) Bist du noch bei der Aufgabe aus dem Themenstart? Viele Grüße Wally \quoteoff ja


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ligning
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  Beitrag No.30, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-27 15:32 - nikofld3 in Beitrag No. 28) Wie, wenn ich habe 10/49, wo ist das dann 10*(10)^-1? \quoteoff Gar nicht, es ist $10\cdot 49^{-1}$.


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nikofld3
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  Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-27 15:57 - ligning in Beitrag No. 30) \quoteon(2022-09-27 15:32 - nikofld3 in Beitrag No. 28) Wie, wenn ich habe 10/49, wo ist das dann 10*(10)^-1? \quoteoff Gar nicht, es ist $10\cdot 49^{-1}$. \quoteoff Danke


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Wally
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  Beitrag No.32, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-27 15:33 - nikofld3 in Beitrag No. 29) \quoteon(2022-09-27 15:11 - Wally in Beitrag No. 27) Bist du noch bei der Aufgabe aus dem Themenstart? Viele Grüße Wally \quoteoff ja \quoteoff Dann fang noch mal vorn an. Lies die Aufgabe gründlich. Schreibe auf, was zu zeigen ist. Führe den Beweis in zwei Schritten. Viele Grüße Wally


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tactac
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  Beitrag No.33, eingetragen 2022-09-27

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) \quoteon(2022-09-27 14:11 - nikofld3 in Beitrag No. 25) Aber der Körper hat doch nur + und *, ich habe dpcj garnicht geteilt difiniert? \quoteoff Körper haben immer +, *, 0, 1, unäres Minus und $(-)^{-1}$. Gute Texte bestehen auch darauf, dass das alles Operationssymbole sind, statt nur irgendwie (leider sehr oft ziemlich seltsam und nicht funktionierend) logisch zu axiomatisieren, dass unter gewissen Umständen gewisse Elemente existieren sollen.\(\endgroup\)


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juergenX
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  Beitrag No.34, eingetragen 2022-09-27

\quoteon(2022-09-26 11:12 - juergenX in Beitrag No. 19) Moin, Wenn man den Körper $\displaystyle\mathbb{Q},+,\cdot$ mit den Operationen + und 'mal" betrachtet so kann man leicht zeigen dass die Identität ein Automorphismus ist, da: 1. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a+b) = \psi(a) +\psi(b)$ und 2. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a\cdot b) = \psi(a)\cdot\psi(b)$ ist. Also könnten wir oBdA für unsere unbekannte bijektive Abbildung $\displaystyle\omega: \mathbb {Q}\Leftrightarrow{Q}$ fordern $\displaystyle\omega(\frac{3}{4}) = \frac{4}{3}$ was man in einen Widerspruch zu (3) führen kann... \quoteoff Vielleicht holst du oder ich mal etwas weiter aus : Mir ist auch nicht ganz kklar was dir nicht klar ist... Das sieht alles kompliziert aus ist es aber nicht, wenn ich mich nicht vertan habe.. 1. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a+b) = \psi(a) +\psi(b)$ und 2. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a\cdot b) = \psi(a)\cdot\psi(b)$ ist. 1 und 2 definieren einen Gruppenhomomorphismus. $\displaystyle\mathbb{Q,+}$ und einen anderen Gruppenhomomorphismus: $\displaystyle\mathbb{Q,\cdot}$. (I):Die Injektivität einer Abbildung ist genau dann erfüllt, wenn aus $\forall a,b \in \mathbb{Q}$ gilt: $\displaystyle f(a)\ne f(b) \Rightarrow a \ne b$. Ein injektiver Gruppenhomomorphismus bedeutet in die Kladde: Jedes Element in der Zielstruktur ist nur Bild EINES Urbildes. Wenn f(3)= 6 dann gibt es keine ander Zahl außer 3, deren Bild 6 ist. Man könnte eine Abbildung $\displaystyle f$ konstruieren durch $\displaystyle\mathbb{Q} \mapsto\mathbb{Q} f:a \mapsto 2a$, was ein sog. Monomorphismus bez. der Addition ist. Mach dir das klar. (E)Ein Epimorphismus ist ein surjekiver Gruppenhomomorphismus. Das heisst: jedes Element der Zielstruktur hat ein definiertes Urbild. Das gilt nicht fuer obiges f. Mach dir das klar. So als ein paar Übungen: Betrachte erst nur die Addition. Wenn für ein $g$ Injektivität und Surjektivität einer Gruppe in eine andere gelten z.B. bei der Identitaet, so ist es ein sog. Isomorphismus. Finde einen Isomorphismus, der eine Gruppe G in eine andere Gruppe H abbildet. Finde einen Isomorphismus, der eine Gruppe G mittels einer Addition in sich selbst überfuehrt und nicht die Identität ist. Erfüllt obiges $\displaystyle\mathbb{Q,+} f:a \mapsto 2a$ die Bed. (E)? Gibt es einen Gruppenhomomorphismus $\displaystyle\mathbb{Q,+}$ der (1) (2) und (I) und (E) erfüllt und nicht die Identität ist? Betrachte jetzt nur die Multiplikation: $\displaystyle\mathbb{Q,\cdot}$. Gibt es einen Gruppenautomorphismus, also eine Abb. einer (un-)endlichen Gruppe $\displaystyle\mathbb{Q,\cdot}$ in sich selbst die injektiv und surjektiv ist also bijetiv? Ein bijetiver Gruppenhomomorphismus ist ein Gruppenautomorphismus. Gibt es ein $\psi$, so dass 2. $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a\cdot b) = \psi(a)\cdot\psi(b)$ ist? Ja ! Ich mache das so ausführlich, weil einem diese ganzen Begrifflichkeiten und -morphisem in Fleisch und Blut gehen sollten. Ein Körperautomorphismus muss (1) (2) und (I) und (E) erfuellen für + und mal erfüllen. Ist es klar, dass das für die Identität: $\displaystyle\forall a,b \in \mathbb{Q}\mapsto\mathbb{Q}:\psi(a\cdot b) = \psi(a)\cdot\psi(b)$ gilt? Sind 2 bijektive Abbildungen $\displaystyle \oplus: \mathbb{Q}\Leftrightarrow\mathbb{Q}$ und $\displaystyle \odot:\mathbb{Q}\Leftrightarrow\mathbb{Q}$ gegeben, die dem bekannten Plus und mal in Brüchen entsprechen, und (1) und (2) und (I) und (S) gelten für beide Operationen dann haben wir einen Körperautomorphismus $\displaystyle\mathbb{Q,\oplus, \odot}$gefunden der Q in sich selbst abbildet. Beh.(a): Es gibt Keine andere Möglichkeit für $\displaystyle\varphi$ außer die {id} das $\displaystyle\varphi\oplus(a,b) = \oplus\varphi a \oplus\varphi b$, oder $\displaystyle f(a+b) = f(a) +f(b)$ und $\displaystyle\varphi\odot(a,b) = \odot\varphi a \varphi b$ oder $\displaystyle f(a*b) = f(a) *f(b)$. Ich schreibe das nur so ausführlich, damit du siehts wie wichtig das Verständnis der obigen Begrifflichkeiten ist. Schlage wirklich alle "solche" nie gehörte oder nie richtigverstandene bei wiki nach. Das hat mir immer sehr geholfen. Um Beh.(a) zu beweisen, nehmen wir an es gäbe ein solches $\displaystyle\varphi$, dann führen wir eine Beweis durch Widerspruch : wenn wie ich oben schon sagte ein $\displaystyle\alpha$, das nicht durch einen morphismus $\displaystyle\omega$ auf sich selbst abgebildet wird, so hätten wir keine Identiät mehr. Und keinen Körperautomorphismus. Divisionen sind in Koerpern wie $\mathbb{Q}$ erlaubt und eindeutig, wie oben mehrmals gesagt. Überlege das man übergeht einfache sachen oft ich hoffe ich hier nicht... Angenommen, wenn f(3/4) = 4/3, f ist nicht die Identitaet. Es ist der Kehrwert nur um etwas anderes als die identische Abb. a nach a zu benuzen. Was ist dann $\displaystyle\omega(0)$ oder $\displaystyle\omega(1)$ ? Wie vorrausgesetzt, müssen $\displaystyle\omega(0) =0 $ und $\displaystyle\omega(1) =1 $ sein. z.B. ist malnehmen mit 12 eine er;aubte Äquivalenzumformung in Ringen. g sei die Multiplikation mit 12. 12* 4/3 = 12 * 3/4 und 16 = 12, wenn die normale Rechemnregeln fuer + ud mal in $\displaystyle \mathbb{Q}$ weiter gelten sollen. Widerspruch.👍👎😁 EDIT o.a. "Beweis" ist nicht ganz sauber ich setzt mich da noch mal dran Zu deiner Frage: "Ist das ein Fehler in der Aufgabenstellung? " Nein "Es gibt doch nur einen Körperautomorphismus? " In Q gibt es also wirklich nur einen Körperautomorphismus.


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DavidM
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  Beitrag No.35, eingetragen 2022-09-28

\quoteon(2022-09-27 22:06 - juergenX in Beitrag No. 34) (I):Die Injektivität einer Abbildung ist genau dann erfüllt, wenn aus $\forall a,b \in \mathbb{Q}$ gilt: $\displaystyle f(a)\ne f(b) \Rightarrow a \ne b$. \quoteoff Das stimmt nicht, $f(a) \neq f(b) \implies a \neq b$ gilt für jede Abbildung. Injektivität ist definiert durch $f(a) = f(b) \implies a=b$ oder äquivalent $a \neq b \implies f(a) \neq f(b)$. \quoteon Man könnte eine Abbildung $\displaystyle f$ konstruieren durch $\displaystyle\mathbb{Q} \mapsto\mathbb{Q} f:a \mapsto 2a$, was ein sog. Monomorphismus bez. der Addition ist. Mach dir das klar. (E)Ein Epimorphismus ist ein surjekiver Gruppenhomomorphismus. Das heisst: jedes Element der Zielstruktur hat ein definiertes Urbild. Das gilt nicht fuer obiges f. Mach dir das klar. \quoteoff Doch, dieses $f$ ist surjektiv.


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Wally
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  Beitrag No.36, eingetragen 2022-09-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) @juergenX, welche Stelle in deinem Beweis funktioniert nicht, wenn man nachweisen will, dass es auch nur einen einzigen Körperautomorphismus in \( \IC\) gibt? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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  Beitrag No.37, eingetragen 2022-09-28

\quoteon(2022-09-28 08:59 - DavidM in Beitrag No. 35) \quoteon(2022-09-27 22:06 - juergenX in Beitrag No. 34) (I):Die Injektivität einer Abbildung ist genau dann erfüllt, wenn aus $\forall a,b \in \mathbb{Q}$ gilt: $\displaystyle f(a)\ne f(b) \Rightarrow a \ne b$. \quoteoff Das stimmt nicht, $f(a) \neq f(b) \implies a \neq b$ gilt für jede Abbildung. Injektivität ist definiert durch $f(a) = f(b) \implies a=b$ oder äquivalent $a \neq b \implies f(a) \neq f(b)$. \quoteoff ja stimmt.. \quoteon \quoteon Man könnte eine Abbildung $\displaystyle f$ konstruieren durch $\displaystyle\mathbb{Q} \mapsto\mathbb{Q} f:a \mapsto 2a$, was ein sog. Monomorphismus bez. der Addition ist. Mach dir das klar. (E)Ein Epimorphismus ist ein surjekiver Gruppenhomomorphismus. Das heisst: jedes Element der Zielstruktur hat ein definiertes Urbild. Das gilt nicht fuer obiges f. Mach dir das klar. \quoteoff Doch, dieses $f$ ist surjektiv. \quoteoff ja stimmt auch in $\displaystyle\mathbb{Q} \mapsto\mathbb{Q}: f (a): \mapsto 2a$ haben alle Brueche q das Urbild q/2.Thx


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juergenX
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  Beitrag No.38, eingetragen 2022-09-28

\quoteon(2022-09-28 12:50 - Wally in Beitrag No. 36) @juergenX, welche Stelle in deinem Beweis funktioniert nicht, wenn man nachweisen will, dass es auch nur einen einzigen Körperautomorphismus in \( \IC\) gibt? Viele Grüße Wally \quoteoff wenn es in $\displaystyle\mathbb{C} : \tau(a+bi) \mapsto a-bi$ gibt, dann ist in $\displaystyle\tau((a+bi)\cdot(a-bi)) = \tau(a+bi)\cdot\tau(a-bi)$. Und $\displaystyle\tau((a+bi) + (c+di)) = \tau(a+bi) + \tau(c+di)$. Also ist $\displaystyle\tau$ ein Automorphismus in C. oder wo ist mein Rechen fehler...


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Wally
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  Beitrag No.39, eingetragen 2022-09-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Ich meine, wenn dein Beweis zeigt, dass es einen eindeutigen Automorphismus in $ \IQ$ gibt, dann kann man denselben Gedankengang benutzen um zu zeigen, dass es auch nur einen in $ \IC$ gibt, was aber falsch ist. \quoteon(2022-09-27 22:06 - juergenX in Beitrag No. 34) Um Beh.(a) zu beweisen, nehmen wir an es gäbe ein solches $\displaystyle\varphi$, dann führen wir eine Beweis durch Widerspruch : wenn wie ich oben schon sagte ein $\displaystyle\alpha$, das nicht durch einen morphismus $\displaystyle\omega$ auf sich selbst abgebildet wird, so hätten wir keine Identiät mehr. Und keinen Körperautomorphismus. \quoteoff Das ist einfach falsch. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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