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| Autor |
 Grenzwerte von Folgen in Kompakta |
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Lau
Junior 
Dabei seit: 19.09.2022
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2022-09-26
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Hallo.
Ich habe folgende Aufgabe vor mir und komme damit nicht weiter.
Sei X ein topologischer Raum und $(x_{n})$ eine konvergente Folge in X mit $(x_{n}) \rightarrow a$.
Y={$(x_{n})$ : $n\in\mathbb{N}$}
Zeige: $Y kompakt \Leftrightarrow a\in Y$
Zu $\Leftarrow$:
Da a in Y liegt, gibt es zu jeder offenen Überdeckung von Y eine Teilüberdeckung, die a enthält. Da a nach Voraussetzung Grenzwert von $(x_{n})$ ist, enthält jede Umgebung von a alle bis auf endlich viele Folgenglieder. Somit enthält die Teilüberdeckung, die a enthält alle bis auf endlich viele Folgenglieder. Somit gibt es endlich viele Teilüberdeckungen von Y und Y ist kompakt.
Für $\Rightarrow$ habe ich noch keinen Ansatz gefunden.
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Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11649
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-26
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Hallo,
so gefällt mir der Beweis nicht.
1. Es gibt eine offene Menge, die a und damit unendlich viele Folgeglieder enthält.
2. Damit ist aber noch keine endliche Teilüberdeckung gefunden. Wie formuliert man diesen kleinen Rest noch korrekt?
Gruß Wauzi
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Lau
Junior
Dabei seit: 19.09.2022
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26
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Ok ich versuche es nochmal.
Sei $(U_{i})_{i\in I}$ eine offene Überdeckung von Y. Da $a\in Y$ existiert ein $j\in I$ so dass $a\in U_{j}$.
Da $U_{j}$ offen ist, ist $U_{j}$ Umgebung von a und enthält, da a Grenzwert von $x_{n}$ ist, alle bis auf endlich viele Folgenglieder von $x_{n}$.
Die endlich vielen Folgenglieder von $x_{n}$, welche nicht in $U_{j}$ liegen, liegen in endlich vielen Familienmitgliedern von $(U_{i})_{i\in I}$.
Somit gibt es eine endliche Teilüberdeckung von Y und Y ist kompakt.
Ist es so richtig?
Liebe Grüße
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11649
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-26
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Lau
Junior
Dabei seit: 19.09.2022
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-26
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Danke!
Hast du mir vielleicht einen Ansatz wie ich dir Rückrichtung zeigen kann?
LG
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Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11649
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-27
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Hallo,
folgende Idee:
angenommen a ist kein Element der Folge. Dann gibt es zu jedem Folgenglied eine Umgebung, die weder a enthält noch unendlich viele Glieder der Folge. Dies führt wegen der Kompaktheit zum Widerspruch.
Warum nicht a in jeder Umgebung enthalten? Dann wäre jede Umgebung des Folgenpunkts auch eine von a, enthielte also unendlich viele Folgenglieder, also wäre dieses Folgenglied auch Grenzwert.......
Analog die grundsätzliche Endlichkeit der Folgeglieder in jeder Umgebung.
Jetzt konstruiere eine schöne Überdeckung und der Widerspruch ist da.
Gruß Wauzi
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
marvinius
Senior 
Dabei seit: 18.08.2002
Mitteilungen: 617
Wohnort: Greifswald
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-04-18
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Salut,
im Sierpinski-Raum \(X=\{a,b\}\) mit der Topologie \( \{ \emptyset,\{b\},X \} \) konvergiert die konstante Folge \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\equiv b \) sehr schön gegen \( a\), kompakter als \(Y=\{b\}\) kann man kaum sein, aber \(a\) liegt nicht drin.
Fordert man \(T_2\) für den Gesamtraum, klappt's natürlich, denn
\quoteon(2022-09-27 00:01 - Wauzi in Beitrag No. 5)
also wäre dieses Folgenglied auch Grenzwert.......
\quoteoff
kann dann ja nicht passieren.
Herzliche Grüße,
René.
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