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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Größter und einfacher Eigenwert der Adjazenzmatrix von Moore-Graphen
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Universität/Hochschule Größter und einfacher Eigenwert der Adjazenzmatrix von Moore-Graphen
GraphMoore
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  Themenstart: 2022-09-27

Guten Tag alle miteinander, ich bin gerade für ein Seminar dabei, dass Hoffman-Singleton zu beweisen, bzw. einen algebraischen Beweis mit Hilfe von Eigenwerten der Adjazenzmatrix nachzuvollziehen, wobei ich an eine Stelle gekommen bin wo ich nach Tagen des Krübelns, alleine nicht mehr weiterkomme. Bei den Graphen welche in dem Beweis betrachtet werden, handelt es sich um Moore Graphen mit Umfang 5 und minimal Grad r >=3. Z.z. ist dann, dass der Graph (r^2)+1 Ecken haben muss und r e{3,7,57}. ZUR FRAGE: Bei dem Beweis werden die Eigenwerte der Adjazenzmatrix betrachtet und es wird verwendet, dass der EW r zum EV x1=(1,...,1) nur einfach vorkommt. Dass r der EW zu x1 ist, ist mir klar. Warum r jedoch nur einmal vorkommt, kann ich leider nicht nachvollziehen. Kann mir dabei jemand helfen ? Ich würde mich sehr freuen


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StefanVogel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-01

Hallo GraphMoore, vielleicht ist Wikipedia Spektrum_(Graphentheorie) ein Tipp "Der größte Eigenwert eines k-regulären Graphen ist k (Satz von Frobenius), seine Vielfachheit ist die Anzahl der Zusammenhangskomponenten des Graphen". Beweisen könnte ich das aber nicht. Viele Grüße, Stefan


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GraphMoore
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04

Hallo Stefan, danke für deine Antwort, werde mir das Mal anschauen. Ich würde es allerdings gerne beweisen können, da ich diese Behauptung für den großen Beweis benötige und bei Rückfragen von Kommilitonen gerne in der Lage wäre zu erklären.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
StefanVogel
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-08

Im erstbesten Google Suchergebnis Algebraische Graphentheorie steht der Beweis auf Seite 30, die ersten beiden Absätze. Das ist nicht viel, enthält aber etliche verschiedene Details, die nacheinander begründet werden müssen: Warum aus einem Eigenvektor \(x\) zum größten Eigenwertes \(\lambda_1\) ein Eigenvektor gefunden werden kann, der nur nichtnegative Einträge enthält, warum diese Einträge bei einem zusammenhängenden Graph sogar alle positiv sind, warum dann auch \(\lambda_1\) positiv ist, dann warum \(\lambda_1\) nur ein einfacher Eigenwert ist und warum die Eigenvektoren zu den anderen Eingenwerten nicht positiv sein können. In Aufgabe 12 vier Seiten vorher wird der Hinweis gegeben, dass man die Tatsache verwenden darf, dass bei einer symmetrischen Matrix die algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen. Viele Grüße, Stefan


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