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Gewöhnliche DGL » Theorie der Gew. DGL » Lösung inhomogene Differenzengleichung 2. Ordnung
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Ausbildung Lösung inhomogene Differenzengleichung 2. Ordnung
Ehemaliges_Mitglied
  Themenstart: 2022-09-28

Hallo, bei einer Übungsaufgabe komme ich bei der Verbesserung an einigen Stellen noch nicht zurecht. Bei einer Iteration ergibt sich die Gleichung: 4a_(n+2)=5q+a_n-2*a_(n+1) Dabei ist q=(a+b+c+d+e)/5. Es wurde dann a'_(n+2)=a_(n+2)-q und analog für a'_n und a'_(n+1) definiert. Wenn n gegen unendlich bei der Iteration geht, so ist die Lösung a_n=q=(a+b+c+d+e)/5. Warum wurde a'_(n+2) so gewählt? Um eine homogene DGL zu erhalten? Hätte man nicht dann zuerst 5q = 0 gesetzt? Zur Lösung der DGL: Ich hätte dann aus 4a'_(n+2) + 2a'_(n+1) - a'_n = 0 mit a_n=e^(\lambda x) die charakteristische Gleichung gebildet (wenn man die a durch a' ersetzt): Also: e^(\lambda x) *(\lambda^2+ 2*\lambda -1) = 0 ALs Lösungen erhalte ich \lambda_1 = (-1+sqrt(5))/4 und \lambda_2 = (-1-sqrt(5))/4. Das stimmt mit der Lösung überein. Die Lösung der DGL ist laut der Verbesserung dann a'_n = K_1*((-1+sqrt(5))/4)^n + K_2*((-1+sqrt(5))/4)^n Warum muss es in der Lösung dann nicht a'_n= K_1*e^(...) + K_2*e^(...) heißen? Ist die Lösung ein Spezialfall? Es wird dann argumentiert, wenn n gegen unendlich strebt, dass dann a'_n=0 ist und dann ist gezeigt, dass q=(a+b+c+d+e)/5 ist. Vielleicht kann mir einer weiterhelfen. Zusatz: Für b, c, d und e ergeben sich analoge Iterationsgleichungen.


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thureduehrsen
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-09-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Hallo carrots0, und willkommen auf dem Matheplaneten! Wie lautet denn die ursprüngliche Aufgabenstellung? Was haben die Summanden \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) zu bedeuten? Das Symbol \(a\) ist doppelt vergeben... mfg thureduehrsen\(\endgroup\)


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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-29

Zur Aufgabe: Es sind fünf ganze Zahlen a, b, c,d,e gegeben. Es wird iteriert: das neue a wird durch die beiden Nachbarzahlen gebildet, also (e+b)/2, für b ergibt sich dann die neue Zahl (a+c)/2, für c dann (b+d)/2... Anschließend wird im nächsten Schritt das neue a wieder ersetzt durch den Durchschnitt der beiden neuen Nachbarzahlen, ebenso das neue b, c, d und e..., usw. Die Iteration wird dann analog für die neuen Zahlen wieder so weitergeführt. Man soll beweisen, dass die Iteration für die Zahlen a, b, c, d, e jeweils gegen q strebt und q ist (a+b+c+d+e)/5.


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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-09-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo carrots0, der Standardweg ist es wirklich, erst eine Lösung der homogenen Gleichung zu finden und dann eine partikuläre der inhomogenen. Man sieht, dass \( a_n=q\) so eine partikuläre Lösung ist, und daher kann man das gleich in die Differenzengleichung einbauen. Deine zweite Frage verstehe ich leider nicht. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-09-29

Danke für die Antwort. Ich "sehe" noch nicht, dass a_n = q eine besondere Lösung der DGL ist. Kannst du das bitte noch erklären? Wegen meiner zweiten Frage: ich glaube ,dass ich die Differenzengleichung mit einer Differentialgleichung verwechselt habe. Bei einer DIfferentialgleichung müsste die Lösung so aussehen, wie ich es geschrieben habe (also a'_n= K_1*e^(...) + K_2*e^(...) ???)? Bei der Differenzengleichung habe ich nochmals nachgesehen: da ist die Lösung von der allgemeinen Form a_n = k_1*\lambda_1^n + k_2*\lambda_2^n Wär das richtig? Dann wäre mich auch die Lösung a'_n = K_1*((-1+sqrt(5))/4)^n + K_2*((-1+sqrt(5))/4)^n etwas klarer. Wenn n gegen unendlich strebt, warum strebt dann a'_n gegen q? Kann man das so erklären, dass die Lambdas vom Betrag kleiner 1 sind und somit die "geometrische Reihe" jeweils konvergiert? Danke für die Antworten, die Mathematik in der Ausbildung ist gerade sehr schwierig...


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
Wally
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-09-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Also wenn du \( a_n=a_{n+1}=a_{n+2}=q\) einsetzt, geht die inhomogene Gleichung auf. Die Lösungsform der Differenzengleichung ist OK. Bei der Lösung brauchst du keine Reihe, sondern nur eine Folge. Weil der Betrag von \( \D \frac{-1\pm \sqrt{2}}{4}\) kleiner als 1 ist, geht \( a_n'\) gegen Null, und daher \( a_n\) gegen \( q\). OK? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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