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Mathematik » Analysis » Gleichzeitig Wendepunkt und Extremum
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Universität/Hochschule Gleichzeitig Wendepunkt und Extremum
carlox
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  Themenstart: 2022-10-01

Hallo allerseits, so wie es aussieht gibt es Stellen, die weder Extremum noch Wendepunkt sind (MartinM). Frage: Kann mir jemand ein Beispiel geben, wo eine Stelle gleichzeitig Extremum und Wendepunkt ist ? mfg cx


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Kuestenkind
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-01

Huhu carlox, wie wäre es mit \(f\colon \thinspace \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)= \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \\ \sqrt{x} & x > 0\end{cases} \)? Gruß, Küstenkind


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Tetris
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 21:33 - carlox im Themenstart) Kann mir jemand ein Beispiel geben, wo eine Stelle gleichzeitig Extremum und Wendepunkt ist? \quoteoff Es muss heißen: "...wo eine Stelle sowohl Extremstelle als auch Wendestelle ist?" Lg, T. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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carlox
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 21:53 - Kuestenkind in Beitrag No. 1) \(f\colon \thinspace \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, f(x)= \begin{cases} x^2 & x \leq 0 \\ \sqrt{x} & x > 0\end{cases} \)? \quoteoff Danke für das Beispiel. Frage: Kennst du auch ein Beispiel, bei dem f 2-mal differenzierbar ist ? mfg cx


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zippy
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 21:53 - Tetris in Beitrag No. 2) Es muss heißen: "...wo eine Stelle sowohl Extremstelle als auch Wendestelle ist?" \quoteoff Wobei die Verwendung von "Wendestelle" in diesem Sinne hauptsächlich im Schulsprech zu finden ist. Anderswo (ich habe gerade einen Blick in Heusers Lehrbuch der Ananlysis, Teil 1 geworfen) ist dieser Begriff unbekannt und man spricht von einem Wendepunkt. --zippy [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]


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MartinN
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-01

Rein formal hat f(x) = 0 an jeder Stelle sowohl Extrema (sogar lokales Minimum und lokales Maximum) als auch Wendepunkte und ist beliebig oft differenzierbar xD (auch wenn die Antwort wohl nicht zufriedenstellend ist - aber ich denke, dass hierfür f(x) wohl lokal konstant sein muss).


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carlox
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 22:14 - zippy in Beitrag No. 4) Wobei die Verwendung von "Wendestelle" in diesem Sinne hauptsächlich im Schulsprech zu finden ist. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.] \quoteoff Vielleicht noch die Definition im Schulbereich: Eine 2-mal differenzierbare Funktion f hat an der Stelle xW eine Wendestelle gdw f'' macht an xW einen VZW und f''(xW)=0 mfg cx [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]


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carlox
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 22:27 - MartinN in Beitrag No. 5) Rein formal hat f(x) = 0 an jeder Stelle sowohl Extrema (sogar lokales Minimum und lokales Maximum) als auch Wendepunkte und ist beliebig oft differenzierbar xD (auch wenn die Antwort wohl nicht zufriedenstellend ist - aber ich denke, dass hierfür f(x) wohl lokal konstant sein muss). \quoteoff Ok. Dann mache ich eine neue Anforerung an f: f muss 2-mal differenzierbar sein und darf nicht abschnittsweise konstant sein bzw. das Extremum ist ein strenges Extremum. Wer kann mir da ein Beispiel geben ? mfg cx


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zippy
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  Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-01

\quoteon(2022-10-01 22:27 - MartinN in Beitrag No. 5) Rein formal hat f(x) = 0 an jeder Stelle sowohl Extrema (sogar lokales Minimum und lokales Maximum) als auch Wendepunkte und ist beliebig oft differenzierbar xD \quoteoff Diese Funktion hat tatsächlich überall lokale Minima und Maxima, aber nach der üblichen Definition (Wendepunkt = Übergang von strikt konvex zu strikt konkav oder umgekehrt) nirgendwo einen Wendepunkt.


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carlox
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-02

\quoteon(2022-10-01 22:27 - MartinN in Beitrag No. 5) Rein formal hat f(x) = 0 an jeder Stelle sowohl Extrema (sogar lokales Minimum und lokales Maximum) als auch Wendepunkte und ist beliebig oft differenzierbar xD (auch wenn die Antwort wohl nicht zufriedenstellend ist - aber ich denke, dass hierfür f(x) wohl lokal konstant sein muss). \quoteoff Danke für den Tipp. Das hat mich zu folgender Behauptung motiviert: Behauptung: Es sei f eine auf einem echten, offenen Intervall $(a,b)$ zweifach differenzierbare Funktion und $x_0 \in (a,b)$ Dann gilt: f hat an $x_0$ einen Wendepunkt $\implies$ f hat an $x_0$ kein strenges Extremum. Beweis: Sei $x_W \in (a,b)$ ein Wendepunkt. Dann gilt per Definition: $f''(x_0)$ macht einen VZW an $x_W$ und $f''(x_0)=0$. Fall1: $f'(x_W) \neq 0$ Dann hat f hat an $x_0$ kein strenges Extremum. Fall2: $f'(x_W) = 0$ Dann hat f' nach dem Extremwertkriterium an $x_W$ ein strenges Extremum in $E(x_W \vert 0)$. Also ist f' VZT (vorzeichentreu: an genau einer Stelle ist der f'-Wert gleich 0, sonst immer größer bzw. kleiner) an $x_W$. Dann giltnach einem Lemma aus der Analysis: f hat an $x_0$ kein strenges Extremum. mfg cx


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MartinN
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  Beitrag No.10, eingetragen 2022-10-02

Ich glaube "einmal stetig differenzierbar" genügt als Bedingung für die Implikation. Die Funktion \(f:(a,b) \to \IR\) habe in \(x_0 \in (a,b)\) einen Wendepunkt. OBdA impliziert dies: für ein \(\varepsilon > 0\) sei \(f\) in \((x_0 - \varepsilon, x_0)\) (streng) konkav und in \((x_0, x_0 + \varepsilon)\) (streng) konvex. Also: \(\forall \lambda \in (0, 1): f(x_0 - \lambda \varepsilon) > \lambda \cdot f(x_0 - \varepsilon) + (1-\lambda) \cdot f(x_0)\\ \forall \mu \in (0, 1): f(x_0 + \mu \varepsilon) < \mu \cdot f(x_0 + \varepsilon) + (1-\mu) \cdot f(x_0)\) Entsprechend ergibt sich: \(f(x_0 - \lambda \varepsilon) - f(x_0) > \lambda \cdot (f(x_0 - \varepsilon) - f(x_0))\\ \Rightarrow \frac{f(x_0 + (- \lambda \varepsilon)) - f(x_0)}{- \lambda \varepsilon} < -\frac{f(x_0 - \varepsilon) - f(x_0)}{\varepsilon}\\ f(x_0 + \mu \varepsilon) - f(x_0) < \mu \cdot (f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0))\\ \Rightarrow \frac{f(x_0 + (\mu \varepsilon)) - f(x_0)}{\mu \varepsilon} < \frac{f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)}{\varepsilon}\) Für \(\lambda \to 0\) entspricht die erste Folgerung dem linksseitigen Grenzwert des Differentialquotienten und für \(\mu \to 0\) entspricht die zweite Folgerung dem rechtsseitigen Grenzwert des Differentialquotienten. Da \(f\) stetig und differenzierbar sei in \(x_0\) existieren beide Grenzwerte und stimmen jeweils auch überein, also: \(f'(x_0) < -\frac{f(x_0 - \varepsilon) - f(x_0)}{\varepsilon} \wedge f'(x_0) < \frac{f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)}{\varepsilon}\) Angenommen \(f\) habe nun in \(x_0\) zusätzlich ein lokales Extremum und da \(f\) stetig differenzierbar sei, somit \(f'(x_0) = 0\). Damit ergibt sich: \(-\frac{f(x_0 - \varepsilon) - f(x_0)}{\varepsilon} > 0\\ \Rightarrow f(x_0 - \varepsilon) - f(x_0) < 0\\ \frac{f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0)}{\varepsilon} > 0\\ \Rightarrow f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0) > 0\) Nun gibt es zwei Möglichkeiten, die beide zu einem Widerspruch führen: (1) Angenommen in \(x_0\) sei ein lokales Minimum. Nun können wir \(\varepsilon > 0\) so klein wählen, das gelten müsste: \(f(x_0 - \varepsilon) - f(x_0) > 0\) (da ein Minimum) Dies widersprich der ersten Schlussfolgerung oben. (2) Angenommen in \(x_0\) sei ein lokales Maximum. Nun können wir \(\varepsilon > 0\) so klein wählen, das gelten müsste: \(f(x_0 + \varepsilon) - f(x_0) < 0\) (da ein Maximum) Dies widersprich der zweiten Schlussfolgerung oben. Durch diese Widersprüche muss obige Annahme \(f\) habe nun in \(x_0\) zusätzlich ein lokales Extremum falsch gewesen sein. Damit ist die Implikation gezeigt: Wenn \(f\) in \(x_0\) einen Wendepunkt besitzt und einmal stetig differenzierbar ist, so besitzt \(f\) dort kein lokales Extremum. q.e.d.


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MartinN
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-10-02

Mir fällt gerade auf, dass man "stetig differenzierbar" nicht mal braucht, sondern nur "differenzierbar" genügt. Die Stetigkeit der Ableitung habe ich nie verwendet. Ich dachte diese benötigt man für f'(x_0) = 0, wenn dort ein Extremum ist. Aber auch dafür braucht man nur die Differenzierbarkeit.


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carlox
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-02

\quoteon(2022-10-02 22:21 - MartinN in Beitrag No. 11) Mir fällt gerade auf, dass man "stetig differenzierbar" nicht mal braucht, sondern nur "differenzierbar" genügt. Die Stetigkeit der Ableitung habe ich nie verwendet. Ich dachte diese benötigt man für f'(x_0) = 0, wenn dort ein Extremum ist. Aber auch dafür braucht man nur die Differenzierbarkeit. \quoteoff Gut, bei meiner Definition von Wendestelle wird ja schon 2-mal differenzierbar vorausgesetzt. Deswegen geht es da leider nicht "billiger". mfg cx


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MartinN
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-10-02

Die andere Richtung kann man sicherlich auch so zeigen. Dann hätte man auch: Wenn f(x) in x_0 ein Extremum besitzt und differenzierbar ist, so hat es dort keinen Wendepunkt. Zusammen wäre dann beides: Ist f differenzierbar, so hat f an keiner Stelle sowohl einen Wendepunkt als auch ein Extrema.


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carlox
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\quoteon(2022-10-02 22:47 - MartinN in Beitrag No. 13) Die andere Richtung kann man sicherlich auch so zeigen. Dann hätte man auch: Wenn f(x) in x_0 ein Extremum besitzt und differenzierbar ist, so hat es dort keinen Wendepunkt. \quoteoff Folgt das nicht trivialerweise direkt aus der Behauptung, denn aus (a -> non b) ==> b -> non a) Behauptung: Es sei f eine auf einem echten, offenen Intervall $(a,b)$ zweifach differenzierbare Funktion und $x_0 \in (a,b)$ Dann gilt: f hat an $x_0$ einen Wendepunkt $\implies$ f hat an $x_0$ kein strenges Extremum. \quoteon Zusammen wäre dann beides: Ist f differenzierbar, so hat f an keiner Stelle sowohl einen Wendepunkt als auch ein Extrema. \quoteoff Genau. mfg cx


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  Beitrag No.15, eingetragen 2022-10-03

Jup... Weil das die Kontraposition ist, dachte ich mir, dass man das genauso zeigen könnte (wenn man die Kontraposition direkt zeigen mag). Aber ja, muss man eigentlich nicht mehr beweisen.


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