Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionentheorie » Randregel endlicher innerer Abbildungen
Autor
Universität/Hochschule J Randregel endlicher innerer Abbildungen
Julian5266
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 17
  Themenstart: 2022-10-01

Hallo zusammen, Ich schreibe gerade meine Bachelorarbeit in Funktionentheorie. Dabei arbeite ich mich gerade durch das Buch "Funktionentheorie 2" von Remmert und habe dort etwas Verständnisprobleme bei einem unbewiesenem Satz. Dafür muss ich ein wenig ausholen. In diesem Kapitel werden sogenannte endliche Abbildungen wie folgt definiert: Seien $G,G' \subset \mathbb{C}$ Gebiete und $(z_n) \subset \mathbb{C}$ eine Folge von komplexen Zahlen aus G. Wir nennen $(z_n)$ eine Randfolge in G, wenn sie keine Häufungspunkte in G besitzt. Eine holomorphe Abbildung $f:G \rightarrow G'$ heißt endlich, wenn gilt: Ist $(z_n)$ Randfolge in G, so ist $f(z_n)$ Randfolge in $G'$ Nun behauptet Remmert, folgende Aussage wäre klar: Eine holomorphe Abbildung $f:\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ (wobei $\mathbb{D}$ die offene Einheitskreisscheibe bezeichnet) ist genau dann endlich, wenn $$\mathrm{lim}_{|z| \rightarrow 1} |f(z)| = 1$$ gilt. Dies wird wohl auch als Randregel bezeichnet. Mit diesem Satz habe ich nun folgendes Problem: Ich wurde noch nie mit dieser Form eines Grenzwertes konfrontiert. Mir sind limes der Form $\mathrm{lim}_{|z| \rightarrow \infty}$ bekannt. Aber noch nicht wenn der Betrag gegen eine Zahl konvergiert. Dieser wird im Buch aber überhaupt nicht definiert. Mein Versuch einer Definition wäre: Für alle Folgen $(z_n) \subset \mathbb{D}$ mit $|z_n| \rightarrow 1$ muss gelten $|f(z_n)| \rightarrow 1$ Ich denke ich verstehe die Grundidee hinter der Aussage. Für das Nachweisen der Endlichkeit betrachten wir Randfolgen, also Folgen die KEINE Häufungspunkte in $\mathbb{D}$ haben. Nach Bolzano Weierstraß müssen aber alle folgen aus $\mathbb{D}$ einen Häufungspunkt in der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe $\overline{\mathbb{D}}$ besitzen. Damit sind die Randfolgen von $\mathbb{D}$ genau alle Folgen aus $\mathbb{D}$ die ausschließlich Häufungspunkte im Rand $\partial\mathbb{D}$ von $\mathbb{D}$ besitzen. Immer wenn ich versuche diese scheinbar triviale Aussage zu beweisen stoße ich z.B. auf folgendes Problem: Gilt für jede Randfolge $(z_n)$ aus $\mathbb{D}$ automatisch $|z_n| \rightarrow 1$ ? Wenn es endlich viele Häufungspunkte in $\partial\mathbb{D}$ sind, konnte ich das zeigen. Aber können unendlich viele Häufungspunkte in $\partial\mathbb{D}$ hier keine Probleme machen ? Vielleicht kennt sich ja jemand hier damit aus oder kennt zumindest ein Buch mit einem Beweis dafür. Liebe Grüße, Julian


   Profil
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4179
  Beitrag No.8, eingetragen 2022-10-02

Ein Häufungspunkt einer Folge $(z_n)$ in $G$, der nicht in $G$ liegt, muss in $\partial G$ liegen. Ebenso muss ein Häufungspunkt einer Folge $(w_n)$ in $G'$, der nicht in $G'$ liegt, in $\partial G'$ liegen. Also ist Remmerts Kriterium äquivalent zu: "Ist $(z_n)$ eine Folge in $G$, deren Häufungspunkte alle in $\partial G$ liegen, so liegen alle Häufungspunkte von $f(z_n)$ in $\partial G'$." In dem Spezialfall $G=G'=\mathbb D$ ist außerdem "alle Häufungspunkte von $(z_n)$ liegen in $\partial\mathbb D$" äquivalent zu "$|z_n|\to 1$": 1. Für die Richtung "$\Leftarrow$" betrachten wir einen Häufungspunkt $z$ von $(z_n)$. Dann gibt es eine Teilfolge $(z'_n)$ von $(z_n)$ mit $z'_n\to z$ und somit auch $|z'_n|\to|z|$. Nach Voraussetzung ist $|z|=1$ und somit $z\in\partial\mathbb D$. 2. Für die Richtung "$\Rightarrow$" betrachten wir eine Folge $(z_n)$, deren Häufungspunkte alle in $\partial\mathbb D$ liegen. $(|z_n|)$ hat als Folge in der kompakten Menge $[0,1]$ Häufungspunkte. Sei $r$ ein solcher Häufungspunkt und $(z'_n)$ eine Teilfolge von $(z_n)$ mit $|z'_n|\to r$. Wegen der Kompaktheit von $\overline{\mathbb D}$ gibt es eine Teilfolge $(z''_n)$ von $(z'_n)$ mit $|z''_n|\to r$ und zusätzlich $z''_n\to z$. Nach Voraussetzung liegt $z$ in $\partial\mathbb D$. Also ist $r=1$. Und da $r$ ein beliebiger Häufungspunkt war, muss $|z_n|\to 1$ gelten.


   Profil
Julian5266
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 17
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

Vielen Dank für die schnelle Antwort :) Jetzt kann ich endlich weitermachen.


   Profil
Julian5266 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2022 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]