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Mathematik » Analysis » Folgenkonvergenz in l^p und l^q.
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Universität/Hochschule J Folgenkonvergenz in l^p und l^q.
Strandkorb
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  Themenstart: 2022-10-02

Ich möchte eine Folge $x^{(n)}\in \cal l^p$ finden, so dass $||x^{(n)}||_p\rightarrow \infty$ aber $||x^{(n)}-x||_q\rightarrow 0$ für $x\in \cal l^q$. Wobei $1\leq p


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-03

Moin Strandkorb, konstruiere eine Folge $\left(x^{(n)}\right)_n := \left(\left(x^{(n)}_k\right)_k\right)_n$ in $\ell^p \cap \ell^q$ so, dass sie in $\ell^q$ gegen $x := (x_k)_k := \left(\frac{1}{k^{1/p}}\right)_k \in \ell^q \setminus \ell^p$ konvergiert, indem du zur Definition von $x^{(n)}_k$ die Definition von $x_k$ hernimmst und geeignet abänderst, so dass die gewünschten Eigenschaften erfüllt sind, was dann am Ende natürlich noch nachzuweisen ist. Verwende dabei, dass für $\alpha \in \mathbb{R}$ die Beziehung $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}} < \infty$ genau dann gilt, wenn $\alpha > 1$. LG, semasch


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