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Analysis » Stetigkeit » Grenzwert durch Stetigkeit beweisen
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Universität/Hochschule Grenzwert durch Stetigkeit beweisen
eli123
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  Themenstart: 2022-10-03

Hallo, berechnet werden soll der Grenzwert lim(x->3,3^x * sqrt(x-2)/(x+2)) . Dabei soll die Stetigkeit benutzt werden. Wie geht man bei solchen Aufgaben vor?


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michfei
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-03

Hallo eli123, wie habt ihr denn Stetigkeit definiert? Sagt dir der Begriff „Folgenstetigkeit“ etwas und wenn ja, wie steht dieser in Verbindung mit dem Begriff „Stetigkeit“? LG


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Diophant
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2022-10-03 13:37 - eli123 im Themenstart) Hallo, berechnet werden soll der Grenzwert lim(x->3,3^x * sqrt(x-2)/(x+2)) . Dabei soll die Stetigkeit benutzt werden. Wie geht man bei solchen Aufgaben vor? \quoteoff bist du dir sicher, dass der Term so stimmt? Denn in diesem Fall kann man ja einfach \(x=3\) einsetzen und auswerten. Und wie lautet denn die Aufgabenstellung im Originalwortlaut? Gruß, Diophant\(\endgroup\)


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PhysikRabe
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-03

Vorausgesetzt die Aufgabe ist so wie von eli123 genannt: \quoteon(2022-10-03 13:52 - Diophant in Beitrag No. 2) bist du dir sicher, dass der Term so stimmt? Denn in diesem Fall kann man ja einfach \(x=3\) einsetzen und auswerten. \quoteoff Natürlich. Aber was du hier implizit verwendest ist die Stetigkeit der Funktion $f:x\mapsto 3^x \cdot \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}$ an der Stelle $x=3$, sodass also gilt, dass $f(x)\to f(3)$ wenn $x\to 3$. (Um genau zu sein sollte man sich noch davon überzeugen, dass das äquivalent ist zur üblichen Folgenstetigkeit, also: $f(x_n)\to f(3)$ gilt für alle Folgen $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ mit $\lim_{n\to\infty} x_n = 3$). Also, eli123: Kannst du denn zeigen, dass die besagte Funktion stetig ist? Grüße, PhysikRabe


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eli123
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

Die Aufgabe: Nutzen Sie die Stetigkeit um folgenden Grenzwert zu berechnen. + Begründung


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Diophant
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-03

\quoteon(2022-10-03 14:10 - eli123 in Beitrag No. 4) Die Aufgabe: Nutzen Sie die Stetigkeit um folgenden Grenzwert zu berechnen. + Begründung \quoteoff Ok, dann geht es hier ja um die Begründung, warum man das so rechnen darf wie in #2 beschrieben. Der Term lässt sich ja als Komposition von bspw. drei einzelnen Funktionen auffassen... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Stetigkeit' von Diophant]


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eli123
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-03

Also besteht die Funktion aus eine Exponentialfunktion, einer Logarithmusfunktion und aus dieser Funktion: sqrt(x-2)/(x+2)


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
wladimir_1989
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-03

Hallo eli123, \quoteon(2022-10-03 15:00 - eli123 in Beitrag No. 6) Also besteht die Funktion aus eine Exponentialfunktion, einer Logarithmusfunktion und aus dieser Funktion: sqrt(x-2)/(x+2) \quoteoff im Beitrag 0 kommt keine Logarithmusfunktion vor. lg Wladimir


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