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 Äquivalente Bedingung für Isomorphie von zwei Objekten |
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Mano
Wenig Aktiv 
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Mitteilungen: 46
Wohnort: NRW
 |  Themenstart: 2022-10-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\)
Hallo,
ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen:
"Show that two objects, $A$ and $B$ are isomorphic if and only if every arrow $A\to A$ factors through $B$ and every arrow $B\to B$ factors through $A$ (an arrow $X\to Y$ factors through $Z$ if it is a composition of some arrows $X\to Z\to Y$)."
Isomorphie wurde so definiert, dass Morphismen $f:A\to B$ und $g:B\to A$ mit $f\circ g=1_B$ und $g\circ f=1_A$ existieren müssen.
Bis auf diese Definition steht kaum etwas zur Verfügung.
Die Hinrichtung ist natürlich klar.
Was ich bei der Rückrichtung versucht habe: Die Einheitsmorphismen $1_A$ und $1_B$ kann man auch faktorisieren. Dann hat man $f,f':A\to B$ und $g,g':B\to A$ mit $f\circ g=1_B$ und $g'\circ f'=1_A$. Leider ist dies nicht ganz die Definition von Isomorphie. Versuche, aus diesen Morphismen Isomorphismen zu konstruieren (wie $f\circ g'\circ f$ und $g\circ f'\circ g$) scheiterten. Auch sehe ich keine weiteren Morphismen, die man faktorisieren könnte. Die Verknüpfungen der vier Morphismen haben ja triviale Faktorisierungen.
Kann mir jemand also einen Tipp geben?\(\endgroup\)
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tactac
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Dabei seit: 15.10.2014
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Ich weiß nicht, ob man damit zum Ziel kommt, aber $f'\circ g$ und $f \circ g'$ sowie $f \circ g'$ und $f' \circ g$ lassen sich ja auch faktorisieren. \(\endgroup\)
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Mano
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\)
Hallo tactac und danke für deine Antwort!
So einfach ist es glaube ich nicht, weil man $f'\circ g$ trivialerweise als $(f')\circ (g)$ faktorisieren kann, genau wie die drei anderen. Oder meinst du etwas anderes?\(\endgroup\)
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tactac
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-04
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Oh, ja, du hast Recht. Habe zu kurz drüber nachgedacht. 🙄
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Mandelbluete
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 | Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-05
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tactac
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-05
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\quoteon(2022-10-05 14:50 - Mandelbluete in Beitrag No. 4)
Huhu! 🙂
Betrachtet man eine abelsche Kategorie?
\quoteoff
Anscheinend nicht. Hier befindet sich die Aufgabe in einem Aufgabenanhang zu "Day 1" (und der Kurs beginnt allgemein mit Kategorien). Die Aufgabenliste zu "Day 2" enthält dagegen explizit den Hinweis "In the following exercises we assume being in an abelian category."
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Mano
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\hff}[1]{\frac{#1}{2}}\)
Hallo und danke für die Antworten!
Für die Antwort von Mandelbluete reicht mein Wissen (noch) leider nicht aus.
(Warum kann man die Bedingung so übersetzen? Warum gilt $\ker f=0=\ker g$?) Hier muss ich mich wohl weiter einlesen. Vielleicht geht es aber auch wesentlich einfacher.
Für eine Kategorie, die nicht notwendigerweise abelsch ist, ist die Aussage wohl falsch. Betrachte hierzu das folgende Gegenbeispiel:
Die einzigen beiden Objekte der Kategorie seien $A$ und $B$ und alle Morphismen haben die Form (mit der Notation aus dem Themenstart) $\displaystyle (\dots g\circ f'\circ g\circ f'\circ g\circ f'\circ g)\circ(f\circ g'\circ f\circ g'\circ f\circ g'\circ f\dots)$ oder $\displaystyle (\dots g\circ f'\circ g\circ f'\circ g\circ f')\circ(g'\circ f\circ g'\circ f\circ g'\circ f\dots)$
Man kann dann relativ einfach zeigen, dass die Verknüpfung zweier Morphismen wieder einen solchen Morphismus ergibt, und dass diese Verknüpfung assoziativ ist. Es gibt aber keine Isomorphismen bis auf die (Einheits-)automorphismen.
Also so ist die Aufgabe auf jeden Fall falsch.\(\endgroup\)
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Mandelbluete
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-06
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Mano
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-06
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Das ist auch eine Interpretation, auch wenn eine eher einfache. Da ich nicht weiß, was ich hier noch will, Hake ich hier ab.
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Triceratops
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Wohnort: Berlin
 |  Beitrag No.9, eingetragen 2022-10-09
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Ich habe hier nur grob gelesen. Die Aufgabenstellung ist jedenfalls nicht richtig. Die Voraussetzung ist äquivalent dazu, dass es gespaltene Monomorphismen $A \hookrightarrow B$ und $B \hookrightarrow A$ gibt, was für die Isomorphie nicht ausreicht (es gibt viele Gegenbeispiele). Auch in abelschen Kategorien stimmt die Aussage nicht, nicht einmal in $\mathbf{Ab}$. Der Beweis in Beitrag 4 ist also fehlerhaft. Der Beweis in Beitrag 7 ist auch sehr lückenhaft (Monomorphismen in konkreten Kategorien müssen nicht injektiv sein, und die Isomorphie der zugrunde liegenden Mengen reicht nicht aus).
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