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 Gegenseitige Lage von Spalten- und Zeilenvektoren einer Matrix |
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pattlestar
Junior 
Dabei seit: 06.08.2019
Mitteilungen: 11
 |  Themenstart: 2022-10-08
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Hallo zusammen,
ich habe mich gefragt, wie sich die Zeilen und Spaltenvektoren einer Matrix zueinander genau verhalten. Ich weiss zum einen, dass der Spaltenraum isomorph zum Zeilenraum ist (die Anzahl der LU Zeilen also gleich der Anzahl der LU Spalten). Zum anderen weiss ich, dass bei einer quadratischen Matrix das Volumen, welches von den Spaltenvektoren aufgespannt wird, gleich dem Volumen ist welches von den Zeilenvektoren aufgespannt wird (da die Determinante einer Matrix gleich der Determinanten ihrer Transponierten ist). Aber wie genau ist die Lage der Spaltenvektoren relativ zu den Zeilenvektoren? Gibt es da überhaupt irgendeinen Zusammenhang?
Ich habe überlegt wenn man aus einer Matrix A zwei Matrizen erstellt: eine , die ich A1 nenne, durch Normierung der Zeilenvektoren und eine, A2, durch Normierung der Spaltenvektoren. Dann würden die Einträge im Produkt von A1 und A2 dem cos des Winkels zwischen den für den Eintrag multiplizierten Zeilenvektoren mit dem multiplizierten Spaltenvektor von A entsprechen. Kann ich daraus vielleicht irgendwas ableiten?
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2074
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
zunächst mal sollte man anmerken, dass ein "Vergleich der gegenseitigen Lagen" nur dann sinnvoll ist, wenn man es mit einer quadratischen Matrix zu tun hat.
Haben wir zum Beispiel eine Matrix $A\in \mathbb R^{n\times m}$, dann haben wir es zum einen mit Vektoren in $\mathbb R^n$ und zum anderen mit Vektoren in $\mathbb R^m$ zu tun. Im Fall $n\neq m$ kann man das nicht unbedingt direkt vergleichen.
Im Prinzip hat man aber die folgenden vier wichtigen Unterräume:
$\bullet$ Den Spaltenraum von $A$: $\opn{im}(A)\subseteq \mathbb R^n$
$\bullet$ Den Zeilenraum von $A$: $\opn{im}(A^t) \subseteq \mathbb R^m$
$\bullet$ Den Kern von $A$: $\ker(A) \subseteq \mathbb R^m$
$\bullet$ Den Kern von $A^t$: $\ker(A^t)\subseteq \mathbb R^n$
Zwischen diesen Räumen besteht folgender Zusammenhang: Der Zeilenraum von $A$ steht orthogonal auf dem Kern von $A$; der Spaltenraum von $A$ steht orthogonal auf dem Kern von $A^t$.
Ein Vergleich der Lage von Spaltenraum und Zeilenraum ist wie gesagt nur im Fall $n=m$ sinnvoll. Außer der Tatsache, dass beide (auch im Fall $n\neq m$) die gleiche Dimension haben, und daher isomorph sind, lässt sich hier nicht wirklich eine allgemeingültige Aussage bzw. eine klare Beziehung wie bei den anderen Räumen herstellen. Das macht man sich am besten mit verschiedenen Beispielen klar. Zum Beispiel könnten wir die Matrix
$$
A:=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&0\end{pmatrix}\in \mathbb R^{2\times 2}
$$
betrachten. Dann ist
$$
\opn{im}(A)=\mathbb R\begin{pmatrix} 1\\ 0\end{pmatrix}, \quad \opn{im}(A^t)=\mathbb R\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}.
$$
Beide Unterräume sind Geraden und daher isomorph, aber besteht hier sonst ein interessanter Zusammenhang?
LG Nico\(\endgroup\)
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pattlestar
Junior
Dabei seit: 06.08.2019
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-08
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Danke Nico,
stimmt das Ganze macht natürlich nur bei quadratischen Matrizen Sinn.
Den Zusammenhang zwischen Zeilenraum und Kern (bzw. Spaltenraum und Kern von A transponiert) kannte ich schon.
Mir is aber gerade noch die Idee gekommen, dass man ja jede Matrix \(A\) darstellen kann als Summe einer symmetrischen Matrix \(S\) und einer nilpotenten oberen Dreiecksmatrix \(D\) mit Nullen auf der Diagonalen, also \(A=S+D\) . Bei die symmetrischen Matrix wären die Verhältnisse insofern klar, als dass die Zeilenvektoren den Spaltenvektoren entsprechen. Dann könnte man sich ja anschauen, was mit \(S+kD\) passiert, wobei \(k\) von \(0\) nach \(1\) läuft.
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pattlestar
Junior 
Dabei seit: 06.08.2019
Mitteilungen: 11
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-08
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bzw. könnte man auch sich erst mal \(S+kE_{ij}\) anschaun, wobei \(E_{ij}\) die Matrix ist die eine eins an der Stelle \((i,j)\) hat und sonst nur Nullen
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
Mitteilungen: 4211
Wohnort: Raun
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-29
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Hallo pattlestar,
speziell bei Rotationsmatrizen ist die erste Zeile als Vektor betrachtet die an der Ebene durch Rotationsachse und x-Achse gespiegelte ersten Spalte. Das folgt daraus, dass die erste Spalte das Ergebnis der Drehung der x-Achse ist und die transponierte Rotationsmatrix gleichzeitig die inverse Rotationsmatrix ist, also die Drehung um den gleichen Winkel in die entgegengesetzte Richtung.
Für beliebige andere Matrizen kenne ich auch keine geometrische Zuordnung, nur einen Zusammenhang, der in Richtung Physik geht. Dazu betrachte ich zwei Vektoren \(v_1=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end {pmatrix}\) und \(v_2=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end {pmatrix}\). Sie sollen zwei Stäbe eines Tragwerkes darstellen, welche an der Pfeilspitze mit festem Untergrund befestigt sind. Am Koordinatenursprung wirkt auf dieses Tragwerk eine Kraft \(F=\begin{pmatrix}F_x\\F_y\end {pmatrix}\) ein und erzeugt dadurch in den beiden Stäben \(v_1\) und \(v_2\) Zug- oder Druckkräfte \(F_1\) und \(F_2\).
$
\begin{tikzpicture}
\draw[->,very thin] (0,0) node[below] {0} -- (4,0) node[below left] {x};
\draw[->,very thin] (0,0) -- (0,4) node[below left] {y};
\draw[{Latex}-{Latex},line width=2,brown!80] (1.4,0.4) -- node[below right] {$F_1$} (5.6,1.6);
\draw[{Latex}-{Latex},line width=2,brown!80] (0.8,1.2) -- node[above left] {$F_2$} (3.2,4.8);
\draw[->] (0,0) -- (7,2) node[right] {$v_1$};
\draw[->] (0,0) -- (4,6) node[right] {$v_2$};
\draw[-{Latex},line width=2,blue!80] (-2,1) -- node[below] {F} (0.0);
\end{tikzpicture}
$
Bei gegebenen \(F\), \(v_1\), \(v_2\) kann man \(F_1\) und \(F_2\) aus dem Gleichungssystem
\(\begin{pmatrix}F_x\\F_y\end {pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 & x_2\\y_1 & y_2\end {pmatrix} \begin{pmatrix}F_1\\F_2\end {pmatrix}\)
berechnen. \(F\) ist also die Linearkombination der Vektoren \(v_1\), \(v_2\) mit Koeffizienten \(F_1\) und \(F_2\). Wenn nun beispielsweise die Vektoren \(v_1\) und \(v_2\) zusammenfallen, etwa \(v_1=v_2=\begin{pmatrix}1\\0\end {pmatrix}\), dann ist das Gleichungssystem nur lösbar, wenn \(F\) im Spaltenraum \(\langle \begin{pmatrix}1\\0\end {pmatrix} \rangle\) liegt und darüber hinaus hat das Gleichungssystem auch Lösungen (innere Spannungen des Tragwerks), wenn die einwirkende Kraft Null ist. Das sind alle Vektoren aus dem Kern der Koeffizientenmatrix, dem zum Zeilenraum \(\langle \begin{pmatrix}1\\1\end {pmatrix} \rangle\) orthogonalen Unterraum.
Viele Grüße,
Stefan
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