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| Autor |
  Das Lebesguemaß |
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mischka
Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 108
 |  Themenstart: 2022-10-14
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Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgaben zu lösen:
Seien \(A,B\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)\) mit \(A\subset B\) und \(\lambda^d(B)<\infty\).
(a) Zeigen Sie, dass \(\lambda^d(A)\leq\lambda^d(B)\) und \(\lambda^d(B\backslash A) = \lambda^d(B)-\lambda^d(A)\).
(b) Sei \((A_k)_{k\in\mathbb{N}}\) eine Folge Lebesuge-messbarer Mengen \(A_k\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)\) mit \(A_k\subset A_{k+1}\) und \(A = \bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k\). Zeigen Sie, dass
\[
\lambda\left(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k\right) = \underset{k\rightarrow\infty}{\text{lim}}\lambda^d(A_k)
\]
(c) Für \(Q=[a_1,b_1\times\dots\times[a_d,b_d)\) gilt:\[
\lambda^d(Q^°) = \lambda^d(Q) = \lambda^d(\overline{Q}) \]wobei \(Q^°\) und \(\overline{Q}\) das offene Innere bzw. den Abschluss von \(Q\) bezeichnen.
Hinweis: Sie benötigen nur die Eigenschaften (A1)-(A5) des Lebesugemaßes.
(a) war einfach und trivial.
Bei (b) komme drehe ich mich im Kreis, vielleicht kann mir da jemand den entscheidenen Hinweis geben:
\[
\lambda^d\left(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_k\right) = \lambda^d\left(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}B_k\right)\\
\underset{\text{(A5)}}{=}\sum_{k\in\mathbb{N}}\lambda(B_k)\\
\underset{\text{(A4)}}{=}\lambda^d\left(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}B_k\right)
\]
Yeah, eine 360°-Drehung und ich bin wieder am Anfang...
Bei (c) hatte ich die Idee, dass ich die Ränder jeweils als Quader auffasse, die dann das Volumen 0 haben. Dummerweise sind die Ränder keine Intervalle der Form \([a,a)\). Wenn wir die in der Vorlesung mit \([a_1,a_2]\) definiert hätten, wäre es einfach, dann könnte die rechte und die linke Grenze identisch sein, ich hätte meine Nullmenge, und alles wäre in Ordnung.
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Hallo,
für b) ist der übliche Trick, dass man die Vereinigung künstlich disjunkt macht, um die $\sigma$-Additivität des Maßes auszunutzen.
Man definiert also $B_1:=A_1$ und rekursiv $B_{k+1}:=A_{k+1}\setminus A_k$. Damit hat man dann $B_n\cap B_m=\emptyset$ für $n\neq m$ und somit
$$
\bigsqcup_{k\in \mathbb N} B_k=\bigcup_{k\in\mathbb N} A_k.
$$
Folglich ist
$$
\lambda\left(\bigcup_{k\in\mathbb N} A_k\right)=\lambda\left(\bigsqcup_{k\in \mathbb N} B_k\right)=\sum_{k=1}^\infty \lambda(B_k)=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \lambda(B_k).
$$
Nun musst du noch den Zusammenhang zu $\lambda(A_n)$ herstellen.
LG Nico\(\endgroup\)
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mischka
Aktiv
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 108
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-19
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Ich wollte einfach mal danke sagen, Nico, das hat mir sehr geholfen.
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mischka hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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