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| Autor |
 Differenzierbare Funktionen von kompaktem Support |
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sulky
Aktiv 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1851
 |  Themenstart: 2022-10-14
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Hallo Zusammen,
Im Zusammenhang mit Funktionen aus $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ und kompakten Support habe ich einen Knopf.
Aus Überlegungen, an welche ich mich aus dem Kurs "komplexe Analysis" errinnere, genügt es, dass eine holomorphe Funktion $f$ auf einem offenen Bereich "0" gibt, um zu folgern, dass $f=0$ auf ganz $\mathbb{C}$.
Ich wäre nie auf die Idee gekommen in Frage zu stellen, dass dies auch auf $\mathbb{R}$ gilt. Sei $g\in\mathcal{C}^\infty$, sodass $g(x)=0$ $\forall x\in(6,7)$, so kann ich doch im Intervall $(6,7)$ die Tylorkoeffizienten entwickeln und folgere sofort, dass alle Tylorkoeffizienten $0$ sind.
Daraus folgt doch sofort, dass $g(x)=0$ auf ganz $\mathbb{R}$????
Doch dies stimmt nicht. Die Funktion $Exp(-\frac{1}{1-|x|^2})$ auf $|x|<1$ und $0$ sonst widerspricht meiner Theorie.
Das Wort "Support Kompakt" verstehe ich so, dass die Funktion 0 gibt wenn nur die Argumente von ausreichend grossem Betrag sind.
Dann kann doch eine Funktion von kompaktem Support, welche aus $\mathcal{C}^\infty$ ist, nur nie Nullfunktion sein.
Wer kann da Ordnung schaffen?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4230
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-14
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Dein Argument trifft auf (reell) analytische Funktionen zu. Aber nicht alle $C^\infty$-Funktionen sind analytisch. Dein Argument zeigt also, dass $C^\infty$-Funktionen mit kompaktem Support mit Ausnahme der $0$ nicht analytisch sind.
--zippy
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sulky
Aktiv
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1851
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-20
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Hallo Zippy,
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ja, jetzt konnte ich wirklich eine Wissenslücke schliessen.
Auf der komplexen Ebene sind die Begriffe $\mathcal{C}^\infty$ und analytisch gleichbedeutend und werden als holomorph bezeichnet.
Auf $\mathbb{R}$ gilt das nicht. da gibt es Funktionen, welche unendlich oft differenzierbar sind und doch nicht analytisch.
Stimmt das so?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4230
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-21
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\quoteon(2022-10-20 23:14 - sulky in Beitrag No. 2)
da gibt es Funktionen, welche unendlich oft differenzierbar sind und doch nicht analytisch.
Stimmt das so?
\quoteoff
Ja.
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| sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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