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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbare Funktionen von kompaktem Support
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Beruf Differenzierbare Funktionen von kompaktem Support
sulky
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  Themenstart: 2022-10-14

Hallo Zusammen, Im Zusammenhang mit Funktionen aus $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ und kompakten Support habe ich einen Knopf. Aus Überlegungen, an welche ich mich aus dem Kurs "komplexe Analysis" errinnere, genügt es, dass eine holomorphe Funktion $f$ auf einem offenen Bereich "0" gibt, um zu folgern, dass $f=0$ auf ganz $\mathbb{C}$. Ich wäre nie auf die Idee gekommen in Frage zu stellen, dass dies auch auf $\mathbb{R}$ gilt. Sei $g\in\mathcal{C}^\infty$, sodass $g(x)=0$ $\forall x\in(6,7)$, so kann ich doch im Intervall $(6,7)$ die Tylorkoeffizienten entwickeln und folgere sofort, dass alle Tylorkoeffizienten $0$ sind. Daraus folgt doch sofort, dass $g(x)=0$ auf ganz $\mathbb{R}$???? Doch dies stimmt nicht. Die Funktion $Exp(-\frac{1}{1-|x|^2})$ auf $|x|<1$ und $0$ sonst widerspricht meiner Theorie. Das Wort "Support Kompakt" verstehe ich so, dass die Funktion 0 gibt wenn nur die Argumente von ausreichend grossem Betrag sind. Dann kann doch eine Funktion von kompaktem Support, welche aus $\mathcal{C}^\infty$ ist, nur nie Nullfunktion sein. Wer kann da Ordnung schaffen?


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zippy
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-14

Dein Argument trifft auf (reell) analytische Funktionen zu. Aber nicht alle $C^\infty$-Funktionen sind analytisch. Dein Argument zeigt also, dass $C^\infty$-Funktionen mit kompaktem Support mit Ausnahme der $0$ nicht analytisch sind. --zippy


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sulky
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-20

Hallo Zippy, Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ja, jetzt konnte ich wirklich eine Wissenslücke schliessen. Auf der komplexen Ebene sind die Begriffe $\mathcal{C}^\infty$ und analytisch gleichbedeutend und werden als holomorph bezeichnet. Auf $\mathbb{R}$ gilt das nicht. da gibt es Funktionen, welche unendlich oft differenzierbar sind und doch nicht analytisch. Stimmt das so?


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zippy
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-21

\quoteon(2022-10-20 23:14 - sulky in Beitrag No. 2) da gibt es Funktionen, welche unendlich oft differenzierbar sind und doch nicht analytisch. Stimmt das so? \quoteoff Ja.


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