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| Autor |
 Verständnis bezogen auf Mittelwert einer linearen Funktion. |
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dergeodaet
Junior 
Dabei seit: 12.05.2022
Mitteilungen: 6
 |  Themenstart: 2022-10-18
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*gelöscht*
\quoteon(ursprünglicher Beitrag)
Hallo,
Das ist vielleicht eine ziemliche Anfängerfrage ggf. auch dumm.
Ich habe versucht (im weitesten Sinne) allgemein herzuleiten (beweisen würde ich das nicht sagen oder nennen), das bei einer linearen Funktion der Mittelwert der Funktionswerte eines gegebenen Intervalls dem Flächeninhalt des Funktion innerhalb des gegebenen Intervalls geteilt durch Intervallendwert minus Intervallanfangswert entspricht.
Dazu hab ich einfach eine allgemeine lineare Funktion eingesetzt und allgemeine Intervallwerte gewählt.
Angefangen hab ich mit der Gleichung:
1/(b-a) * int(dx + e,x,a,b) = ((d * b + e) + (d * a + e))/2
Damit komme ich dann nach ein wenig umformen auf folgende Gleichung:
\[2 \cdot b^{b - a} - db^{2} = 2 \cdot a^{a - 1} - da^{2}\]
a und b sind die untere- bzw. obere Grenze und d ist der Faktor in der linearen Funktion
\[f(x) = d \cdot x + e\]
Das e also die Verschiebung der Geraden ist beim Umformen rausgeflogen, was wie ich finde auch Sinn macht, da diese ja keinen Einfluss auf den Mittelwert hat.
Aber sonst hakt es ein wenig, ob mir die Gleichung irgendwas sinnvolles sagen kann bzw. ich kann für beliebige a und b Intervalle mein d und damit die Steigung der Geraden ermitteln. Aber sagt mir das was über die Gleichheit bezogen auf mein Ausgangsinteresse aus?
\quoteoff
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10535
Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-18
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-10-18 17:37 - dergeodaet im Themenstart)
Ich habe versucht (im weitesten Sinne) allgemein herzuleiten (beweisen würde ich das nicht sagen oder nennen), das bei einer linearen Funktion der Mittelwert der Funktionswerte eines gegebenen Intervalls dem Flächeninhalt des Funktion innerhalb des gegebenen Intervalls geteilt durch Intervallendwert minus Intervallanfangswert entspricht.
\quoteoff
Nun, das ist ja immer so, das ist ja gerade die Definition des Mittelwerts einer Funktion, also (mit \(aThemenstart)
1/(b-a) * int(dx + e,x,a,b) = ((d * b + e) + (d * a + e))/2
Damit komme ich dann nach ein wenig umformen auf folgende Gleichung:
\[2 \cdot b^{b - a} - db^{2} = 2 \cdot a^{a - 1} - da^{2}\]
\quoteoff
... erschließt sich mir nicht, um ehrlich zu sein.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Funktionen' in Forum 'Integralrechnung' von Diophant]\(\endgroup\)
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