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| Autor |
 Wie kann das e^(2pi*i*3/8) sein? |
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nikofld3
Aktiv 
Dabei seit: 26.02.2022
Mitteilungen: 215
 |  Themenstart: 2022-10-19
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Gegeben ist:
(1-i)/sqrt(2)
und das sei:
e^(2pi*i*3/8)
Warum? klar 135° habe ich nun als Argument, aber wie kommt man von
1-i/sqrt(2) darauf, dass das Argument ist und man deshalb so das e bildet?
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 Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10684
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-19
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\[2\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{4}\]
Bist du dir sicher, dass nicht folgendes gegeben ist:
\[z=\frac{-1+i}{\sqrt{2}}\]
?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Mathematik' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1216
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-25
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\quoteon(2022-10-19 15:08 - nikofld3 im Themenstart)
Gegeben ist:
(1-i)/sqrt(2)
und das sei:
e^(2pi*i*3/8)
Warum? klar 135° habe ich nun als Argument, aber wie kommt man von
1-i/sqrt(2) darauf, dass das Argument ist und man deshalb so das e bildet? [Was? Bitte drücke Dich verständlich aus.]
\quoteoff
Die Frage Warum ist $
e^{i\frac{3\pi}{4}}
=\frac{-1+i}{\sqrt2}
$ ?
ist gleichbedeutend mit den Fragen
Warum ist $
\newcommand\Sin[1]{\sin\left( #1 \right)}
\newcommand\Cos[1]{\cos\left( #1 \right)}
\Cos{\frac{3\pi}{4}} =\frac{-1}{\sqrt{2}}
$ bzw. $\Sin{\frac{3\pi}{4}} =\frac{1}{\sqrt{2}}$ ?
· Formal kann man das mit Hilfe der Phasenverschiebungen (auch "Rückführung auf spitze Winkel" genannt) herleiten:
$\boxed{ \cos(\pi-x) =-\cos(x)
}$ bzw. $\boxed{ \sin(\pi-x) =\sin(x)
}$
(welche ihrerseits mit den Additionstheoremen herleitbar sind).
$\begin{array}{l l}
e^{i\frac{3\pi}{4}} =\Cos{\frac{3\pi}{4}} +i\, \Sin{\frac{3\pi}{4}}
&=\Cos{\pi-\frac{\pi}{4}} +i\, \Sin{\pi-\frac{\pi}{4}} \\[1em]
&=-\Cos{\frac{\pi}{4}} +i\, \Sin{\frac{\pi}{4}} \\[1em]
&=-\frac{1}{\sqrt{2}} +i\, \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{array}$
Wie schon in der anderen Frage thematisiert, musste man wissen, dass $
\Sin{\frac{\pi}{4}} =\Cos{\frac{\pi}{4}} =\frac{\sqrt{2}}{2}
$ ist, was leicht aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck folgt.
· Andererseits liest man sowas normalerweise einfach aus einer Skizze am Einheitskreis ab:
$
\begin{tikzpicture}[
x=2cm, y=2cm, %scale=0.725,
font=\footnotesize,
>=latex,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners},
show background rectangle,
]
\coordinate[] (O) at (0,0);
\coordinate[] (X) at (1,0);
\coordinate[] (Y) at (0,1);
\coordinate[] (Z) at (45:1);
\coordinate[] (W) at (135:1);
%Winkel
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\frac\pi4$", -
] {angle =X--O--Z};
\draw pic [draw, angle radius=7.5mm, angle eccentricity=1.3,
"$\frac{3\pi}{4}$", red, -
] {angle =X--O--W};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.3,
double
] {angle =Z--O--Y};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, angle eccentricity=1.3,
double
] {angle =Y--O--W};
%KoSy
% x-Achse
\draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[below] {Re$$};
%Zahlen auf x-Achse
\foreach \x in {-1,...,1}{\if\x0{}\else
\draw[shift={(\x,0)}] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {$\x$};
\fi}
% y-Achse
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[left] {Im$$};%node[above left]
%Zahlen auf y-Achse
\foreach \y in {-1,...,1}{\if\y0{}\else
\draw[shift={(0,\y)}] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {$\y$};
\fi}
% Einheitskreis
\draw[very thin] circle[radius=1];
% Zeiger
\draw[->, thick] (O) -- (Z) node[pos=0.8, below]{$e^{i\frac{\pi}{4}}$};
\draw[->, thick,red] (O) -- (W) node[pos=0.9, right, inner sep=6pt]{$e^{i\frac{3\pi}{4}}$};
\pgfmathsetmacro\h{sqrt(2)/2}
\draw[blue] (Z) -- (\h,0) node[midway, right]{$\sin\left( \frac{\pi}{4} \right)$};
\draw[blue] (W) -- (-\h,0) node[midway, left]{$\sin\left( \frac{3\pi}{4} \right)$};
\draw[green!66!black] (O) -- (\h,0) node[midway, below]{$\cos\left( \frac{\pi}{4} \right)$};
\draw[green!66!black] (O) -- (-\h,0) node[midway, below]{$\cos\left( \frac{3\pi}{4} \right)$};
%% Punkte
\foreach \P in {Z,W,O} \draw[fill=black!1] (\P) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
$
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