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| Autor |
  Beweis in den reellen Zahlen |
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RogerKlotz
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
 |  Themenstart: 2022-10-26
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Hallo :)
Ich beschäftige mich aktuell mit folgender Aufgabe:
Sei \(x,y \in \mathbb R\). Dann gilt \(x^{2}+y^{2} \geq 2xy\).
Ich habe mir überlegt, dass ich die Ungleichung erstmal umstelle:
\[x^{2}+y^{2} \geq 2xy = x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0 = \left( x-y\right)^{2} \geq 0\]
Bin ich hier auf dem Holzweg? Ich weiß nicht wie ich hier anknüpfen kann 😖
Hat vllt jemand einen Tipp?
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 Profil
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Caban
Senior 
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3116
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-26
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Hallo
Was ist denn eigentlich die Aufgabe.
Gruß Caban
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Profil
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-10-26 11:08 - RogerKlotz im Themenstart)
Hallo :)
Ich beschäftige mich aktuell mit folgender Aufgabe:
Sei \(x,y \in \mathbb R\). Dann gilt \(x^{2}+y^{2} \geq 2xy\).
Ich habe mir überlegt, dass ich die Ungleichung erstmal umstelle:
\[x^{2}+y^{2} \geq 2xy = x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0 = \left( x-y\right)^{2} \geq 0\]
Bin ich hier auf dem Holzweg? Ich weiß nicht wie ich hier anknüpfen kann 😖
\quoteoff
Nein, kein Holzweg: (fast) alles richtig gemacht. 👍
Fast deshalb, weil die Schreibweise so nicht geht. Du könntest zwischen die einzelnen Versionen der Ungleichung Äquivalenzpfeile setzen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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Profil
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RogerKlotz
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-26
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\quoteon(2022-10-26 11:14 - Caban in Beitrag No. 1)
Hallo
Was ist denn eigentlich die Aufgabe.
Gruß Caban
\quoteoff
Hey,
also der genaue Wortlaut ist:
Zeigen sie die folgende Aussage.
Sei \(x,y \in \mathbb R\). Dann gilt \(x^2 + y^2 \geq 2xy\).
\quoteon(2022-10-26 11:22 - Diophant in Beitrag No. 2)
Hallo,
\quoteon(2022-10-26 11:08 - RogerKlotz im Themenstart)
Hallo :)
Ich beschäftige mich aktuell mit folgender Aufgabe:
Sei \(x,y \in \mathbb R\). Dann gilt \(x^{2}+y^{2} \geq 2xy\).
Ich habe mir überlegt, dass ich die Ungleichung erstmal umstelle:
\[x^{2}+y^{2} \geq 2xy = x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0 = \left( x-y\right)^{2} \geq 0\]
Bin ich hier auf dem Holzweg? Ich weiß nicht wie ich hier anknüpfen kann 😖
\quoteoff
Nein, kein Holzweg: (fast) alles richtig gemacht. 👍
Fast deshalb, weil die Schreibweise so nicht geht. Du könntest zwischen die einzelnen Versionen der Ungleichung Äquivalenzpfeile setzen.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Ungleichungen' von Diophant]
\quoteoff
Danke für den Hinweis. Es müsste dann so lauten:
\[x^{2}+y^{2} \geq 2xy \Leftrightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow \left( x-y\right)^{2} \geq 0\]
Aber wieso ist jetzt hier gezeigt, dass diese Aussage gilt, wenn x,y in den reellen Zahlen sind? Habe das glaube ich noch nicht so ganz verstanden. 😐
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-26
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\quoteon(2022-10-26 11:39 - RogerKlotz in Beitrag No. 3)
Aber wieso ist jetzt hier gezeigt, dass diese Aussage gilt, wenn x,y in den reellen Zahlen sind? Habe das glaube ich noch nicht so ganz verstanden. 😐
\quoteoff
Kennst du negative Quadratzahlen? ...
Gruß, Diophant
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RogerKlotz
Wenig Aktiv
Dabei seit: 06.03.2019
Mitteilungen: 147
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-26
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Nein, kenne ich nicht 😄
Aber mir ist nicht klar, dass die Aussage impliziert, dass \(x,y \in \mathbb R\) bzw. mir ist nicht klar, wie ich durch meinen Beweis begründe, dass die Aussage stimmt.
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Profil
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10923
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-10-26 20:58 - RogerKlotz in Beitrag No. 5)
Nein, kenne ich nicht 😄
Aber mir ist nicht klar, dass die Aussage impliziert, dass \(x,y \in \mathbb R\) bzw. mir ist nicht klar, wie ich durch meinen Beweis begründe, dass die Aussage stimmt.
\quoteoff
Du hast die Äquivalenz deiner Ungleichung zur Ungleichung \((x-y)^2\ge 0\) gezeigt bzw. nachgerechnet (mache dir klar, dass deine beiden Umformungen Äquivalenzumformungen sind). Letztere Ungleichung besagt aber einfach nur, dass für jede relle Zahl ihr Quadrat nichtnegativ ist. Und das ist eine so einfache Tatsache, dass man sie hier als bekannt voraussetzen darf.
Also ist die Ungleichung \((x-y)^2\ge 0\) für alle \(x,y\in\IR\) eine wahre Aussage und die zu zeigende Ungleichung somit ebenfalls.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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RogerKlotz
Wenig Aktiv
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Mitteilungen: 147
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-26
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RogerKlotz hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
RogerKlotz hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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