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 Offene Mengen |
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mischka
Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 108
 |  Themenstart: 2022-10-26
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe:
Folgern Sie: Sind \(A \subset \mathbb{R}^d\) und \(B \supset \mathbb{R}^n\) beide offen und beschränkt, so gilt\[
\lambda^{d+n}(A\times B) = \lambda^d(A)\cdot \lambda^n(B)\]
Ich habe darüber nachgedacht, ich habe eine ungefähre Vorstellung davon, warum das so ist, indem ich in kleinen Dimensionen gedacht habe, aber ich habe nicht den Hauch einer Ahnung, wie man das mathematisch ausdrücken kann.
Kann mir bitte jemand einen Denkanstoß geben?
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mischka
Aktiv 
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 108
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-28
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Ich habe mir übrigens überlegt, dass jeder Quader aus \(A\) mit jedem aus \(B\) multipliziert werden muss, und bin zu folgender Formel gekommen:\[
\lambda^{d+n}(A\times B) = \sum_{k\in\mathbb{N}}\left( \prod_{l=1}^d\left( \left( b_{k,l}-a_{k,l}\right)\cdot\sum_{m\in\mathbb{M}}\left( \prod_{o=1}^n\left( b_{m,o}-a_{m,0}\right)\right)\right)\right)
\]
Dummerweise komme ich immer noch nicht weiter!
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-28
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Hallo,
könntest du noch etwas Kontext zu der Aufgabe geben? Je nach deinem Kenntnisstand gäbe es hier verschiedene Möglichkeiten das zu zeigen. Wurde schon über Produktmaße gesprochen bzw. wurde bisher über Integration gesprochen? Insbesondere wäre das Prinzip von Cavallieri hier sehr nützlich.
Welche Resultate für das Lebesguesche Maß stehen zur Verfügung?
LG Nico
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mischka
Aktiv
Dabei seit: 31.10.2012
Mitteilungen: 108
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-28
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Ich glaube ich habe eine Lösung, in Aufgabenteil (a) sollte gezeigt werden, dass es für jede offene Menge eine abzählbare disjunkte Überdeckung mit halboffenen Quadern gibt. Nun meine Lösung:
Nach dem Resultat von (a) kann ich \(A\) und \(B\) wie folgt ausdrücken:\[
A=\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\\
B=\bigcup_{j\in\mathbb{N}}B_j
\]
wobei \(A_i\forall i\in\mathbb{N}\) und \(B_j\forall j\in\mathbb{N}\) jeweils halboffene Quader sind.
Darüber hinaus ist klar, dass das Maß des kartesischen Produkts zweier Quader einfach das Produkt der Maße der Quader ist. Dies ergibt sich aus der Definition des Maßes, da nun ein neuer Quader gebildet wird, mit mehr Seiten, die einfach multipliziert werden. Mit diesem Wissen können wir nun folgern:\[
\lambda^{d+n}(A\times B) = \lambda^{d+n}\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\times\bigcup_{j\in\mathbb{N}}B_j\right)\\
= \lambda^{d+n}\left( \bigcup_{i\in\mathbb{N}}\left( \bigcup_{j\in\mathbb{N}}A_i\times B_j\right)\right)\\
= \sum_{i\in\mathbb{N}}\lambda^{d+n}\left(\bigcup_{j\in\mathbb{N}}A_i\times B_j\right)\\
= \sum_{i\in\mathbb{N}}\left( \sum_{j\in\mathbb{N}}\left(\lambda^{d+n}\left(A_i\times B_j\right)\right)\right)\\
= \sum_{i\in\mathbb{N}}\left( \sum_{j\in\mathbb{N}}\left(\lambda^{d}\left(A_i\right)\cdot\lambda^n\left( B_j\right)\right)\right)\\
= \sum_{i\in\mathbb{N}}\left( \lambda^{d}\left(A_i\right) \cdot \sum_{j\in\mathbb{N}}\lambda^n\left( B_j\right)\right)\\
= \sum_{j\in\mathbb{N}}\lambda^n\left( B_j\right)\cdot\sum_{i\in\mathbb{N}} \lambda^{d}\left(A_i\right)\\
= \sum_{i\in\mathbb{N}} \lambda^{d}\left(A_i\right)\cdot \sum_{j\in\mathbb{N}}\lambda^n\left( B_j\right)\\
= \lambda^d\left(\bigcup_{i\in\mathbb{N}}A_i\right)\cdot \lambda^n\left(\bigcup_{j\in\mathbb{N}}B_j\right)\\
= \lambda^d(A)\cdot\lambda^n(B)
\]
Ist das soweit korrekt?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2214
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Wenn du dir unsicher bist, dann begründe doch mal jedes der von dir postulierten Gleichheitszeichen. Welche Eigenschaften wurden bei welcher Umformung benutzt? Warum darf man diese Eigenschaften benutzen, also warum sind alle Voraussetzungen erfüllt (z.B. die Disjunktheit von bestimmten Mengen etc. Zu einem vollständigen Argument gehört auch mindestens eine Bemerkung, warum $A\times B$ in diesem Fall überhaupt messbar ist.)?
Am Ende solltest du dich dann nicht mehr fragen, ob es passt oder nicht.
LG Nico\(\endgroup\)
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