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  Sokhotski–Plemelj-Formel (reelle Version) |
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Schnubelub
Aktiv 
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 106
 |  Themenstart: 2022-10-26
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Hallo,
ich bin gerade dabei für alle Testfunktionen $\phi$ die Sokhotski–Plemelj Formel
$$\lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x-i\epsilon}dx=\lim_{\epsilon\to 0+}\int_{|x|>\epsilon}\frac{\phi(x)}{x}dx+i\pi\phi(0)$$
zu beweisen wobei die Existenz des ersten Summanden nicht zu beweisen ist (das ist ja die principle value distrubtion).
Ich habe zunächst die linke Seite in Real- und Imaginärteil aufgeteilt
$$\frac{\phi(x)}{x-i\epsilon}=\frac{\phi(x)x}{x^2+\epsilon^2}+i\frac{\phi(x)\epsilon}{x^2+\epsilon^2}.$$
Für den Imaginärteil gilt mit $x=u\cdot\epsilon$ und dem Satz der beschränkten Konvergenz (mit einer belieben Nullfolge)
$$\lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)\epsilon}{x^2+\epsilon^2}dx=\lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(u\epsilon)}{u^2+1}du=\arctan(u)|_{-\infty}^\infty\phi(0)=\pi\phi(0).$$
Somit ist die Gleichheit der Imaginärteile der Sokhotski–Plemelj Formel gezeigt.
Beim Realteil stecke ich leider fest, da ich den Satz der beschränkten Konvergenz nicht mehr anwenden darf und somit nicht weiß wie ich das $\epsilon$ aus dem Integral bekomme:
$$\int_{\mathbb{R}}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx$$
Eine Idee wäre vielleicht das Integral mit $\delta>0$ wie folgt aufzuteilen
$$\int_{\mathbb{R}}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx=\int_{-\infty}^{-\delta}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx+\int_{\delta}^{\infty}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx+\int_{-\delta}^{\delta}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx$$
und zuerst den Limes $\epsilon\to0$ und dann $\delta\to0$ zu nehmen. Auf die ersten zwei Summanden kann ich den Satz der beschränkten Konvergenz anwenden, auf den dritten leider nicht und da stecke ich fest. Ich habe mir überlegt ob ich für den dritten Summanden die Limiten vertauschen darf, das geht aber denke ich nicht. Wie kann ich zeigen, dass der dritte Summand gegen 0 geht? Oder gibt es vielleicht einen anderen Ansatz die Gleichheit der Realteile zu zeigen?
Bin über jeden Hinweis und Tipp dankbar!! Viele Grüße!
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9658
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo Schnubelub,
schreibe \( \phi(x)=\phi(0)+x\phi_1(x)\) mit \( \phi_1(x)\to 0\) für \( x\to 0\).
Viele Grüße
Wally
\(\endgroup\)
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Schnubelub
Aktiv
Dabei seit: 08.12.2020
Mitteilungen: 106
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-26
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Hallo Wally,
meinst du $x\cdot\phi_1(x)\to0$ für $x\to0$?
Dann wäre meine Wahl $\phi_1(0)=\phi'(0)$ und $\phi_1(x)=\frac{\phi(x)-\phi(0)}{x}$ sonst. Somit gilt $\phi(x)=\phi(0)+x\phi_1(x)$.
Ich habe probiert diese Gleichheit in $\int_{\mathbb{R}}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx$ einzusetzen, bin aber nicht weiter gekommen. Hast du vielleicht noch einen Tipp wie ich da weiter vorgehen kann?
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9658
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-26
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Wenn du den dritten Summanden wie angegeben aufspaltest, hast du ein Integral einer ungeraden Funktion plus ein Integral einer beschränkten Funktion, die man gut abschätzen kann.
Viele Grüße
Wally
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Schnubelub
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Mitteilungen: 106
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-27
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\(\begingroup\)\(\usepackage{physics}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{enumitem}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)
ah danke ich glaube ich habs jetzt:
$$\int_{-\delta}^{\delta}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(x)dx=\int_{-\delta}^{\delta}\frac{x}{x^2+\epsilon^2}\phi(0)dx+\int_{-\delta}^{\delta}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\phi_1(x)dx$$
Der erste Summand ist ein Integral über eine ungerade Funktion, also gleich 0. Den zweiten Summanden kann ich für alle $\epsilon>0$ durch $\phi_1$ abschätzen. Da $\phi_1$ nach Konstruktion sogar stetig ist, ist $\phi_1$ über dem Kompaktum $[-\delta,\delta]$ sicher integrierbar. Somit darf ich den Limes $\epsilon\to 0$ in das Integral hineinziehen und erhalte
$$\lim_{\epsilon\to 0}\int_{-\delta}^{\delta}\frac{x^2}{x^2+\epsilon^2}\phi_1(x)dx=\int_{-\delta}^{\delta}\phi_1(x)dx.$$
Wenn ich jetzt $\delta$ gegen 0 laufen lasse, verschwindet dieses Integral und die Behauptung folgt.
Danke für die Hilfe!\(\endgroup\)
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