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  Summenabweichung |
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aequivalent
Junior 
Dabei seit: 08.07.2022
Mitteilungen: 17
 |  Themenstart: 2022-10-27
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Hallo,
ich habe in Statistik gerade folgendes Problem zur Summenabweichung:
\(w: \IR \rightarrow \IR\) ist stetig differnzierbar, \(w'\) ist streng monoton wachsend und \(x'(0)=0\)
Für ein Merkmal \(X: M \rightarrow \IR\) und \(c \in \IR\) sei definiert:
\[sab_w(X,c)= \sum \limits_{j \in M} w(c-X(j))\]
Zu zeigen: Es existiert ein eindeutiges \(x_0\) für das \(sab_w(X,x_0)0\) für \(x>0 \Rightarrow w(x)\) monoton fallend für \(x<0\) und monoton steigend für \(x>0\).
Jetzt weiß ich nicht weiter. Kann mir jemand helfen? Am liebsten Tipps, damit ich von selbst drauf komme :)
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4624
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-27
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\quoteon(2022-10-27 12:30 - aequivalent im Themenstart)
Meine erste Idee war, dass \(x_0\) gleich dem arithmetischen Mittel ist. \quoteoff
Das ist z.B. für $w(x)=x^2$ richtig, im Allgemeinen aber falsch.
Nutze aus, dass $\lim_{c\to\pm\infty}\operatorname{sab}_w(X,c)=\infty$ ist, um die Existenz eines globalen Minimums zu zeigen.
Aus der strikten Konvexität von $c\mapsto\operatorname{sab}_w(X,c)$ folgt dann, dass dieses Minimum strikt ist.
--zippy
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aequivalent
Junior
Dabei seit: 08.07.2022
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-27
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Ich verstehe noch nicht, woher ich weiß, dass \(sab_w(X,c)\) strikt konvex ist.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4624
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-27
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\quoteon(2022-10-27 13:28 - aequivalent in Beitrag No. 2)
Ich verstehe noch nicht, woher ich weiß, dass \(sab_w(X,c)\) strikt konvex ist.
\quoteoff
Ist dir klar, dass $w$ strikt konvex ist?
Und dass für eine strikt konvexe Funktion $f$ auch die verschobene Funktion $x\mapsto f(x-a)$ strikt konvex ist?
Und dass die Summe von konvexen Funktionen, unter denen eine strikt konvex ist, strikt konvex ist?
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aequivalent
Junior
Dabei seit: 08.07.2022
Mitteilungen: 17
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-28
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Die beiden ersten sind mir klar.
Aber wieso ist die Summe von konvexen Funktionen mit einer strikt konvexen Funktion auch strikt konvex?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4624
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-28
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\quoteon(2022-10-28 17:39 - aequivalent in Beitrag No. 4)
Aber wieso ist die Summe von konvexen Funktionen mit einer strikt konvexen Funktion auch strikt konvex?
\quoteoff
Für die Summe $f=\sum_if_i$ der konvexen Funktionen $f_i$ und $\lambda\in[0,1]$ gilt$$\begin{align*}
f\bigl(\lambda\,x+(1-\lambda)\,y\bigr)
&= \sum_if_i\bigl(\lambda\,x+(1-\lambda)\,y\bigr) \\[1ex]
&\le \sum_i\Bigl[\lambda\,f_i(x)+(1-\lambda)\,f_i(y)\Bigr] \\[1.8ex]
&= \lambda\,f(x)+(1-\lambda)\,f(y) \;.
\end{align*}$$Betrachten wir nun $x\ne y$ und $\lambda\in(0,1)$. Wenn eines der $f_i$ strikt konvex ist, gilt für den entsprechenden Summanden$$
f_i\bigl(\lambda\,x+(1-\lambda)\,y\bigr) <
\lambda\,f_i(x)+(1-\lambda)\,f_i(y)
$$und dieses "$<$" überträgt sich auf die Ungleichung für $f$.
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aequivalent hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
aequivalent hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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