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 Hypothesentest: Annäherung der Intervallgrenzen des Annahmebereichs mittels Sigma |
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captainbalu
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 28.10.2009
Mitteilungen: 166
 |  Themenstart: 2022-10-27
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Hallo zusammen!
Mich treibt aktuell ein Problem bei Hypothesentests im Zusammenhang mit der Binomialverteilung herum:
Die (Schul-)Literatur sagt, dass man beim Hypothesentest einer Binomialverteilung für \sigma > 3 (sog. Laplace-Bedingung) die Grenzwerte des Annahmebereichs - entsprechend der Normalverteilung - über den Ansatz intervall(\mue-k*\sigma,\mue+k*\sigma) \big annähern \normal kann, wobei k vom Signifikanzniveau \alpha abhängt, z.B. k=1,96 für \alpha=5% oder k=2,58 für \alpha=1%.
Wie ich schon hervorgehoben habe, ist mir klar, dass es sich dabei um eine Annäherung handelt.
Offensichtlich ist, dass sich bei dem Ansatz intervall(\mue-k*\sigma, \mue+k*\sigma) oftmals keine ganzzahligen Werte ergeben, die ja nunmal die einzig verfügbaren bei einer Binomialverteilung sind, sodass sich hier ein Rundungsproblem ergibt: Man könnte z.B. "nach innen", "nach außen" oder kaufmännisch runden.
\big Beispiel: \normal
Sei \alpha=5 % und eine zufallsgröße binomialverteilt mit n=50, wobei die Hypothese H_0 lautet p=0,5.
"Exakt", also mittels (kumulierter) Wahrscheinlichkeiten ergibt sich dann ein Annahmebereich von [18; 32] und es gilt auch P(18<=X<=32)\approx 96,72 %
nähere ich hingegen mittels obigem Ausdruck an, so gilt:
\mue=n*p=50*0,5=25, \sigma=sqrt(n*p*(1-p))=sqrt(50*0,5*0,5)=sqrt(12,5)
entsprechend A\approx[25-1,96*sqrt(12,5); 25+1,96*sqrt(12,5)]\approx[18,07; 31,93].
Runde ich hier nach außen, so ist alles wunderbar: die angenäherten Werte, entsprechen den exakten Werten A=A^*=[18; 32] - super!
Rechne ich hingegen dasselbe Beispiel auf einem Signifkanzniveau \alpha^' = 1 % dann ergibt sich
"exakt": A=[16; 34],
aber mittels Annäherung: A\approx[25-2,58*sqrt(12,5); 25+2,58*sqrt(12,5)]\approx[15,89; 34,12].
Runde ich jetzt nach außen, ergibt sich allerdings A^*=[15; 35], ich werde also "viel" zu groß:
P(16<=X<=34)=99,34 %, ABER P(16<=X<=34)\approx 99,74 %
Ich weiß aufgrund des exakten Ergebnisses auch, dass ich "zu viel" liegen lasse. Hier wäre also eigentlich nach innen runden die bessere Wahl. Das kann ich aber im Allgemeinen nicht tun (???), da ich dann z.B. für \alpha=5 % die Wkeit für den Annahmebereich unter 95 % drücke oder andersrum das Signifikanzniveau zu groß wird.
Nun die Frage:
Ich würde meinen Schülern immer sagen, rundet nach außen, dann hat man gewährleistet, dass mind. 1-\alpha der Werte im Annahmebereich liegen oder anders ausgedrückt, dass im Ablehnungsbereich maximal \alpha der Werte liegen.
Das wäre nach meinem Verständnis des Signifkanzniveaus (= maximale Irrtumswahrscheinlichkeit) auch die einzig verträgliche Variante, da sonst - siehe oben - eben evtl. das Niveau von \alpha "gesprengt" werden könnte.
Dann kann sich aber eben das Problem ergeben, dass man A unnötig (über die Maßen) vergrößert.
Daher meine Fragen:
1. Ist das Verständnis des Signifkanzniveaus korrekt und die entsprechende Handlungsempfehlung korrekt?
2. Falls ja, hat jemand einen Lösungsansatz für das geschilderte Problem des "zu großen" Annahmebereichs (außer der exakten Berechnung mittels kumulierter Wkeit)?
Ich bin gespannt auf eure Meinungen und sage schon mal herzlichen Dank!
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-27
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Hallo,
\quoteon(2022-10-27 22:53 - captainbalu im Themenstart)
Ich würde meinen Schülern immer sagen, rundet nach außen, dann hat man gewährleistet, dass mind. 1-\alpha der Werte im Annahmebereich liegen oder anders ausgedrückt, dass im Ablehnungsbereich maximal \alpha der Werte liegen.
\quoteoff
Genau so muss das. Das Signifikanzniveau wird ja auch gerne als maximal zulässige Irrtumswahrscheinlichkeit (o.ä.) bezeichnet.
Das sollte eigentlich deine beiden Fragen beantworten.
Gruß, Diophant
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| captainbalu hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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