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Mathematik » Numerik & Optimierung » Minimum, lineare Optimierung
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Schule J Minimum, lineare Optimierung
All-goa-rhythmus
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  Themenstart: 2022-10-29

Hallo zusammen! Häufig liest man bei der linearen Optimierung etwas in der Art: "Besitzt das lineare Programm lediglich zwei Variablen, eignet sich zur Lösung der Optimierungsaufgabe eine graphische Analyse: Das Maximum findet man graphisch, indem die Zielfunktion einzeichnet und solange parallel verschiebt, bis sie den letzten Eckpunkt des Lösungsbereichs berührt. Das Minimum findet man graphisch, indem die Zielfunktion einzeichnet und solange parallel verschiebt, bis sie den ersten Eckpunkt des Lösungsbereichs berührt." Ich betrachte nun folgendes Maximierungsproblem: 0<=x<=3 0<=y<=7 mit der Zielfunktion z=-x-y+5 Als Lösungen können nur die vier Punkte (0/0), (3/0), (3/7), (0/7) in Frage kommen. Durch paralleles Verschieben (bzw. durch Einsetzen der Punkte in die Zielfunktion) erkennt man, dass das Maximum (0/0) und das Minimum (3/7) ist. Aber damit ist doch obige zitierte Aussage falsch? Vielen Dank, Algo


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-29

Hallo, deine Zielfunktion enthält eine Konstante. Das ist nach meiner Kenntnis so nicht vorgesehen. Ohne diese Konstante würde die Regel zutreffen. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Finanzmathematik' in Forum 'Numerik & Optimierung' von Diophant]


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All-goa-rhythmus
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-29

Lieber Diophant Interessant, es heisst ja auch 'lineare' und nicht 'affin lineare' Optimierung. Aber im obigen Beispiel mit der neuen Zielfunktion z_1=--x-y zeigt sich durch Einsetzen, dass das Maximum immer noch (0/0) und das Minimum immer noch (3/7) ist. Liebe Grüsse, Algo


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Diophant
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-29

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) \quoteon(2022-10-29 16:34 - All-goa-rhythmus in Beitrag No. 2) Ja nun, da werden die Begriffe in der angwandten Mathematik nicht wirklich konsequent Aber im obigen Beispiel mit der neuen Zielfunktion z_1=--x-y zeigt sich durch Einsetzen, dass das Maximum immer noch (0/0) und das Minimum immer noch (3/7) ist. \quoteoff Das liegt an den negativen Koeffizienten von \(x\) und \(y\). Nicht nur die Regel, die du oben angeführt hast, kommt ja aus der Praxis, sondern das ganze Verfahren. Und in der Praxis geht es um solche Dinge wie Kosten, Materialeinsatz, Konsum etc. Alles Dinge, die mit positivem Koeffizienten in ein solches Modell eingehen würden. Und für diese Szenarien aus der Praxis sind solche Regeln dann gedacht. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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All-goa-rhythmus
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-29

Lieber Diophant Gut, dann ist das klar. Die anfangs zitierten Aussagen -- die man ja so oder ähnlich immer wieder lesen kann -- treffen nur dann zu, wenn in der Zielfunktion die Vorzeichen/Operationszeichen positiv sind. Mit dieser Einschränkung verstehe ich die Aussagen, vielen Dank, Algo


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Delastelle
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-29

Hallo All-goa-rhythmus! Eine Konstante in der Zielfunktion kann man herausnehmen während der Optimierung und danach wieder addieren/subtrahieren. Viele Grüße Ronald


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All-goa-rhythmus
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01

Vielen Dank, das ist auch noch ein interessanter Punkt. Liebe Grüsse, Algo


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