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  Ist m orientierungsumkehrende Isometrie, dann ist m² orientierungserhaltend [Definition] |
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Arccos
Aktiv 
Dabei seit: 12.07.2022
Mitteilungen: 57
 |  Themenstart: 2022-10-30
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Ich möchte für eine orentirungsumkehrende Isometrie m auf der Euklidischen Fläche zeigen, dass m² orientierungserhaltend ist.
Dabei sind mir ein paar Verständnis-Fragen aufgekommen.
Also ich verstehe es so, jede orientierungsumkehrende Isometrie kann geschrieben werden als, \(t_vr\) mit t ist Translation und r Spiegelung
mit r = diag(-1,1) oder r = diag(1,-1).
Aber eigentlich gilt ja, dass eine orientierungsumkehrende Isometrie die Determinante 1 hat.
Es gilt ja, dass die Determinante sich auf die Spiegelung bezieht?
Bzw. t ist orientierungserhaltend und r orientierungsumkehrend, was zusammen wieder orientierungsumkehren ist?
Weiter stellt sich mir die Frage, was ist wenn \( r = \begin{array}{rr} -1 & a \\ 0 & 1 \\ \end{array} \) da ist die Determinante ja auch -1,
womit es nach der Definition, die ich habe, auch eine orentirungsumkehrende Isometrie ist. Aber r währe dann keine Spiegelung mehr.
Zwar kann ich die Aufgabe lösen, auch ohne dies genau zu verstehen, doch wurmt es mich. Meine Lösung wäre:
Sei \( m = t_vr \) mit \(t_vr = rt_{v'}\) mit \(v = r(v') \).
Dann gilt \( m^2 = t_vrt_vr = t_vrrt_{v'} \) und da gilt \( det(rr) = det(r)der(r) = (-1)*(-1) = 1 \)
\(\Rightarrow\) m² ist orientierungserhaltend.
Ich wäre dankbar, wenn jemand mir da etwas Licht ins Dunkel bringen könnte.
PS.: Ich bin mir nicht sicher in welche Kategorie dies gehört. Wir machen es in Algebra, da es dies nicht gibt, habe ich es mal in LA gemacht, auch wenn es mir eher zu Geometrie zu gehören scheint.
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Bozzo
Senior 
Dabei seit: 11.04.2011
Mitteilungen: 2287
Wohnort: Franken
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-02
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Eine orientierungsumkehrende Isometrie ist eine Isometrie mit Determinante -1! Die von dir angegebene Matrix ist nicht mal eine Isomertie, daher erst recht keine orientierungsumkehrende Isometrie.
Die von dir angegebenenen orientierungsumkehrenden Isometrien sind noch nicht alle. Z. B. fehlt die Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten.
Zur eigentlichen Aufgabenstellung: det(m2) kannst du auch ohne Umweg über r ganz einfach berechnen.
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4422
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-02
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\quoteon(2022-11-02 01:29 - Bozzo in Beitrag No. 1)
det(m2) kannst du auch ohne Umweg über r ganz einfach berechnen.
\quoteoff
Die affine Abbildung $m$ selbst hat keine Determinante. Dass sie eine orientierungsumkehrende Isometrie ist, bedeutet, dass die lineare Abbildung $r$ in der Darstellung $m=t_v\,r$ eine Isometrie mit $\det r=-1$ ist.
Um nachzuweisen, dass $m^2$ orientierungserhaltend ist, bringt man auch $m^2$ in diese Form, $m^2=t_v\,r\,t_v\,r=t_v\,t_{r(v)}\,r^2$, und nutzt dann $\det r^2=(\det r)^2=1$ aus.
--zippy
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Arccos hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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