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| Autor |
 Wahrscheinlichkeit genau eine 6 bei 4 Würfen |
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Djamal
Neu 
Dabei seit: 30.10.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-10-30
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Hey,
ich möchte die Aufgabe lösen, dass ich bei 4 würfen genau eine 6 kriege.
Mein Ansatz war mit A^c |Ω| = 6^4 = 1296
P(A^c) = 1-(5^4/6^4) = 671/1296
Die Lösung ist aber 125/324.
Was habe ich falsch gemacht ?
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 Profil
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2800
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-30
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Hallo Djamal, willkommen auf dem Matheplaneten.
1-(5^4/6^4) ist die WK, mindestens eine 6 zu würfeln.
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Profil
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JoeM
Aktiv 
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 938
Wohnort: Oberpfalz
| Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-31
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Hallo Djamal,
--- nur beim 1. Wurf eine 6, und dann 3-mal keine 6: p1 = 1/6 * (5/6)^3;
--- gleiches gilt beim 2. bis 4. Wurf; p2 = p3 = p4 = p1;
--> p = 1/6 * (5/6)^3 * 4 = 125/324;
viele Grüße
JoeM
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2260
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-10-31
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Hallo Djamal und auch von mir: Willkommen im MP-Forum!
tactac hat Dir schon gesagt, was Du ausgerechnet hast.
\(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{5}{6}\right)^4\) ergibt allgemein die Wahrscheinlichkeit,
bei vier Würfen nacheinander eine bestimmte Augenzahl
viermal nicht zu würfeln. Die Gegenwahrscheinlichkeit,
also die Differenz zu \(1\), deckt dann sämtliche Fälle ab, in
denen bei den vier Würfen einmal, zweimal, dreimal oder
viermal jene Zahl erwürfelt wird. Das wolltest Du aber nicht.
»Genau einmal eine Sechs« umfasst vier Fälle, nämlich eine
Sechs beim ersten Wurf und danach dreimal keine, oder beim
ersten Wurf keine Sechs und beim zweiten die Sechs und dann
noch zweimal keine Sechs. Usw.
Die Wahrscheinlichkeiten für diejenigen Einzelereignisse, welche
über "und" zusammenhängen, werden multipliziert, und danach
werden die über "oder" zusammenhängenden Teilwahrscheinlich-
keiten für die 'passenden' Folgen von Einzelereignissen addiert.
Genau das hat JoeM vorgerechnet; die eine Sechs darf bei genau
einem der vier Würfe fallen - also vier Folgen von Einzelereignissen.
Und von den Einzelwahrscheinlichkeiten her sind diese vier Folgen
gleichwertig: einmal eine Sechs und dreimal keine.
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Djamal
Neu
Dabei seit: 30.10.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-31
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\quoteon(2022-10-31 06:56 - cramilu in Beitrag No. 3)
Hallo Djamal und auch von mir: Willkommen im MP-Forum!
tactac hat Dir schon gesagt, was Du ausgerechnet hast.
\(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{5}{6}\right)^4\) ergibt allgemein die Wahrscheinlichkeit,
bei vier Würfen nacheinander eine bestimmte Augenzahl
viermal nicht zu würfeln. Die Gegenwahrscheinlichkeit,
also die Differenz zu \(1\), deckt dann sämtliche Fälle ab, in
denen bei den vier Würfen einmal, zweimal, dreimal oder
viermal jene Zahl erwürfelt wird. Das wolltest Du aber nicht.
»Genau einmal eine Sechs« umfasst vier Fälle, nämlich eine
Sechs beim ersten Wurf und danach dreimal keine, oder beim
ersten Wurf keine Sechs und beim zweiten die Sechs und dann
noch zweimal keine Sechs. Usw.
Die Wahrscheinlichkeiten für diejenigen Einzelereignisse, welche
über "und" zusammenhängen, werden multipliziert, und danach
werden die über "oder" zusammenhängenden Teilwahrscheinlich-
keiten für die 'passenden' Folgen von Einzelereignissen addiert.
Genau das hat JoeM vorgerechnet; die eine Sechs darf bei genau
einem der vier Würfe fallen - also vier Folgen von Einzelereignissen.
Und von den Einzelwahrscheinlichkeiten her sind diese vier Folgen
gleichwertig: einmal eine Sechs und dreimal keine.
\quoteoff
Hey, danke für die ausführliche Antwort
Die Wahrscheinlichkeit für genau eine sechs ist dann die gleiche wie zum Beispiel für genau eine 4 oder ? Weil alle die Wahrscheinlichkeit 1/6 haben
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10690
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.5, eingetragen 2022-10-31
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Hallo und auch von mir willkommen hier im Forum!
\quoteon(2022-10-31 10:19 - Djamal in Beitrag No. 4)
Die Wahrscheinlichkeit für genau eine sechs ist dann die gleiche wie zum Beispiel für genau eine 4 oder ? Weil alle die Wahrscheinlichkeit 1/6 haben
\quoteoff
Ja, das ist hier so, aber es ist eigentlich nicht so sehr von Belang. Viel wichtiger: die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen ist bei jedem Wurf gleich. Damit ist die Anzahl der geworfenen Sechsen binomialverteilt. Das führt dann im Prinzip auf die Rechnung aus Beitrag #2.
Gruß, Diophant
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Djamal
Neu
Dabei seit: 30.10.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-31
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\quoteon(2022-10-31 10:29 - Diophant in Beitrag No. 5)
Hallo und auch von mir willkommen hier im Forum!
\quoteon(2022-10-31 10:19 - Djamal in Beitrag No. 4)
Die Wahrscheinlichkeit für genau eine sechs ist dann die gleiche wie zum Beispiel für genau eine 4 oder ? Weil alle die Wahrscheinlichkeit 1/6 haben
\quoteoff
Ja, das ist hier so, aber es ist eigentlich nicht so sehr von Belang. Viel wichtiger: die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen ist bei jedem Wurf gleich. Damit ist die Anzahl der geworfenen Sechsen binomialverteilt. Das führt dann im Prinzip auf die Rechnung aus Beitrag #2.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ich verstehe es jetzt danke. Beim vierten Wurf erstmals eine sechs wäre 1/6*(5/6)^3 aber hier wäre es für jede Zahl wieder gleich oder ?
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2260
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-10-31
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Hallo... jep!
Die Wahrscheinlichkeiten für die Gesamtereignisse
»Beim vierten Wurf erstmals eine Sechs« oder
»Beim vierten Wurf erstmals eine Vier[Drei,...]«
müssen gleich sein, weil die Einzelwurfwahrschein-
lichkeiten für alle Augenzahlen gleich sind.
Vorausgesetzt, natürlich, der Würfel ist 'fair'. 😉
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JoeM
Aktiv
Dabei seit: 28.10.2015
Mitteilungen: 938
Wohnort: Oberpfalz
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-01
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Hallo Djamal,
allg. gilt für N Würfe, und genau K- mal eine sechs (oder eine andere Zahl):
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/44117_Wurf1.jpg
viele Grüße
JoeM
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