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 Beweis bzgl. eindeutigen Lösungen von linearen Gleichungssystemen. |
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spikespiegel43
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 |  Themenstart: 2022-10-31
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Hallo,
ich habe lange über einen Beweis nachgedacht. Und verstehe diesen an einer bestimmten Stelle leider nicht und hänge da schon seit 2 Wochen dran fest.
Es geht darum zu zeigen, dass:
Sei Ax = b mit \(A \in M_{mn}\), dann gilt:
\(\lambda\) ist die einzige Lösung von Ax = b, dann ist Rg(A) = n.
Der Beweis läuft jetzt so ab: Sei L die Lösungsmenge, dann gilt L = \(\lambda \) + U. U ist die Lösungsmenge von Tx = 0. Und T ist die Treppennormalform zu A. Da L={\(\lambda\)} <=Y U = {0}.
Bis dahin habe ich alles soweit verstanden.
Jetzt wird aber gesagt U={0} ist äquivalent zu
U = { u \(\in\) \(M_{n1}(\mathbb{K})\) | \(u_k\) beliebig für alle k \(\notin\) \(\mathcal{T}\), und \(u_{j_s}\) = - \(\sum\limits_{k \notin \mathcal{T}} t_{sk}*u_k\) für alle \(j_s \in \mathcal{T}\)} = {0}
Und daraus folgt dann, dass {1,...,n} = \(\mathcal{T}\) und Rg(A) = n.
Nur warum soll daraus folgen das {1,...,n} = \(\mathcal{T}\). Da \(u_k\) beliebig ist, könnte es ja sein, dass bei \(A \in M_{45}\) \(u_3\) beliebig ist mit \(u_3=0\), dann wäre allerdings \(3 \notin \mathcal{T}\) und somit wäre \(\mathcal{T} = {1,2} und somit wäre Rang(A) = 2 und nicht 4. Wo ist mein Denkfehler?
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ligning
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-31
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Wenn $\mathcal{T}$ einen Index $j$ nicht enthält, dann ist der Eintrag $u_j$ nach der Beschreibung von $U$ "beliebig", während sich die anderen Einträge irgendwie daraus ergeben. Es müsste also beispielsweise ein Element $u\in U$ geben mit $u_j = 1$.
Es ist aber $U=\{0\}$, also ist $0$ das einzige Element von $U$, Widerspruch.
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spikespiegel43
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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\quoteon(2022-10-31 19:49 - ligning in Beitrag No. 1)
Wenn $\mathcal{T}$ einen Index $j$ nicht enthält, dann ist der Eintrag $u_j$ nach der Beschreibung von $U$ "beliebig", während sich die anderen Einträge irgendwie daraus ergeben. Es müsste also beispielsweise ein Element $u\in U$ geben mit $u_j = 1$.
Es ist aber $U=\{0\}$, also ist $0$ das einzige Element von $U$, Widerspruch.
\quoteoff
Vielen Dank durch diesen Wiederspruchsbeweis wurde auf jedenfall gezeigt, dass die T alle Elemente enthalten muss. D.h da \(u_k\) nicht beliebig sein kann, da es immer 0 sein muss, ist T={1,...,n}. Das könnte man so sagen?
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| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
ligning
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-01
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Ja, genau das wollte ich damit ausdrücken.
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