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| Autor |
  Quadratwurzeln von komplexen Zahlen bestimmen |
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Max_804
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 |  Themenstart: 2022-10-31
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Hey,
ich habe eher eine Verständnisfrage; die Aufgabe lautet:
Sei w \el\ \IC. Eine komplexe Zahl z \el\ \IC ist eine Quadratwurzel von w, wenn z^2 = w gilt.
(a) Bestimmen Sie beide Quadratwurzeln der komplexen Zahlen 2i und -9i mittels Polarkoordinaten, übertragen Sie die Lösungen in kartesische Koordinaten und skizzieren Sie die Lösungsmenge in der komplexen Zahlenebene.
(b) Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung z^2 = 3z-2+i(2-z).
Bei a) (so hat es uns unser Prof gezeigt) soll ich die Wurzel der Länge nehmen und den Winkel halbieren. 2i hatte er sogar als Beispiel gezeigt, weil $|1+i| = \sqrt2$. Nur mit den Polarkoordinaten weiß ich nicht ganz wie ich da rangehen soll. Ich weiß natürlich $x=r∗cos(ϕ$) und $y=r∗sin(ϕ)$ sowohl $r = \sqrt(x^2+y^2)$
b) hier bräuchte ich einen Ansatz.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-31
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
zur a): du könntest die Gleichung \((x+iy)^2=2i\) betrachten und Real- und Imaginärteil durch Koeffizientenvergleich ermitteln.
Zu b): was ist dir hier unklar, das ist doch einfach nur eine quadratische Gleichung?
Gruß, Diophant
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Max_804
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Mitteilungen: 187
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-31
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\quoteon(2022-10-31 22:40 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
zur a): du könntest die Gleichung \((x+iy)^2=2i\) betrachten und Real- und Imaginärteil durch Koeffizientenvergleich ermitteln.
Zu b): was ist dir hier unklar, das ist doch einfach nur eine quadratische Gleichung?
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Komplexe Zahlen' von Diophant]
\quoteoff
Habe bei beides gelöst. Musste bei b) faktorisieren, bin darauf nicht gekommen. Was ich mich jedoch frage: Kann man das auch mit der pq-Formel lösen?
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juergenX
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-01
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\quoteon(2022-10-31 22:30 - Max_804 im Themenstart)
Hey,
Bei a) (so hat es uns unser Prof gezeigt) soll ich die Wurzel der Länge nehmen und den Winkel halbieren. 2i hatte er sogar als Beispiel gezeigt, weil $|1+i| = \sqrt2$. Nur mit den Polarkoordinaten weiß ich nicht ganz wie ich da rangehen soll. Ich weiß natürlich $x=r∗cos(ϕ$) und $y=r∗sin(ϕ)$ sowohl $r = \sqrt(x^2+y^2)$
\quoteoff
Male einen Einheitskreis und wisse oder siehe, dass $e^{2i\pi} = 1$ und $e^{i\pi} = -1$ und $e^{\frac{1}{2}i\pi} = i$ und $e^{\frac{1}{4}i\pi} = \frac{i+1}{\sqrt2}$ ist. Weil die Regeln für Logarithmenrechung z.B. die Multiplikation von $exp(\mu) * exp(\nu) = exp(\mu+\nu)$ auf für komplexe Exponenten gelten.
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Diophant
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-01
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Hallo,
\quoteon(2022-10-31 23:30 - Max_804 in Beitrag No. 2)
Was ich mich jedoch frage: Kann man das auch mit der pq-Formel lösen?
\quoteoff
Ja klar, warum auch nicht?
Die Lösung beruht ja letztendlich auf quadratischer Ergänzung. Und die pq-Formel basiert darauf.
Gruß, Diophant
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Max_804
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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\quoteon(2022-11-01 07:15 - Diophant in Beitrag No. 4)
Hallo,
\quoteon(2022-10-31 23:30 - Max_804 in Beitrag No. 2)
Was ich mich jedoch frage: Kann man das auch mit der pq-Formel lösen?
\quoteoff
Ja klar, warum auch nicht?
Die Lösung beruht ja letztendlich auf quadratischer Ergänzung. Und die pq-Formel basiert darauf.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hab da etwas Probleme mit der pq-Formel, vielleicht habe ich mich auch irgendwo verrechnet.
Ich habe ja:
z^2-(3-i)z-2i+2 = 0
pq-Formel: (-3+i)/2 +- \sqrt(((-3+i)/2)^2-2i+2)
Ich weiß nur nicht wie ich das unter der Wurzel berechnen soll, das wäre ja sqrt(10/4-2i+2), nur wie kann ich davon die Wurzel ziehen?
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Diophant
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-01
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Hallo,
\quoteon(2022-11-01 14:05 - Max_804 in Beitrag No. 5)
Ich habe ja:
z^2-(3-i)z-2i+2 = 0
pq-Formel: (-3+i)/2 +- \sqrt(((-3+i)/2)^2-2i+2)
Ich weiß nur nicht wie ich das unter der Wurzel berechnen soll, das wäre ja sqrt(10/4-2i+2), nur wie kann ich davon die Wurzel ziehen?
\quoteoff
Du hast dich beim Quadrieren unter der Wurzel verrechnet. Vermutlich hast du einfach \(i^2=-1\) nicht bedacht? Und dann kommt noch ein Vorzeichenfehler dazu (das \(q\) geht ja negativ in die Diskriminante ein).
Ja ja, die gute alte pq-Formel, der schöne Automatismus. Das funktioniert so im Komplexen natürlich auch nicht mehr so einfach. I.a. muss man dann - so möglich - die Wurzel per Nebenrechnung bestimmen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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\quoteon(2022-11-01 14:15 - Diophant in Beitrag No. 6)
Hallo,
\quoteon(2022-11-01 14:05 - Max_804 in Beitrag No. 5)
Ich habe ja:
z^2-(3-i)z-2i+2 = 0
pq-Formel: (-3+i)/2 +- \sqrt(((-3+i)/2)^2-2i+2)
Ich weiß nur nicht wie ich das unter der Wurzel berechnen soll, das wäre ja sqrt(10/4-2i+2), nur wie kann ich davon die Wurzel ziehen?
\quoteoff
Du hast dich beim Quadrieren unter der Wurzel verrechnet. Vermutlich hast du einfach \(i^2=-1\) nicht bedacht? Und dann kommt noch ein Vorzeichenfehler dazu (das \(q\) geht ja negativ in die Diskriminante ein).
Ja ja, die gute alte pq-Formel, der schöne Automatismus. Das funktioniert so im Komplexen natürlich auch nicht mehr so einfach. I.a. muss man dann - so möglich - die Wurzel per Nebenrechnung bestimmen.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Also nochmal von vorne:
z^2-(3-i)z-2i+2 = 0
pq-Formel: (3-i)/2 +- \sqrt(((-3+i)/2)^2+2i-2)
(3-i)/2 +- sqrt(2+2i-2), also bleibt sqrt(2i), das weiß ich aus der vorherigen Aufgabe, das ist 1+i.
Also habe ich dann (3-i)/2 +- 1+i.
Aber irgendwie passt das nicht mit den Ergebnissen 1-i und 2.
Habe ich mich verrechnet?
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
du musst dich entscheiden, in welcher Version du die Formel verwendest. Also pq- oder abc-Formel. In der pq-Variante hat man als Diskriminante:
\[\frac{(-3+i)^2}{2}-2+2i=\frac{9-6i-1}{4}-2+2i=\frac{i}{2}\]
Was dann genau auf die beiden Lösungen \(z_1=2\) und \(z_2=1-i\) führt.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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\quoteon(2022-11-01 15:03 - Diophant in Beitrag No. 8)
Hallo,
du musst dich entscheiden, in welcher Version du die Formel verwendest. Also pq- oder abc-Formel. In der pq-Variante hat man als Diskriminante:
\[\frac{(-3+i)^2}{2}-2+2i=\frac{9-6i-1}{4}-2+2i=\frac{i}{2}\]
Was dann genau auf die beiden Lösungen \(z_1=2\) und \(z_2=1-i\) führt.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\quoteoff
Ich habe jetzt gefunden was mein Fehler war. ((-3+i)/2)^2 habe ich als (9-1)/4 berechnet, was natürlich nicht stimmt.
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Mathe9078
Neu 
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-01
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Aber wie genau kommt man zu den Lösungen 2 und 1-i? Was ist die Wurzel von i/2?
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo Mathe9078 und willkommen hier im Forum!
\quoteon(2022-11-01 19:41 - Mathe9078 in Beitrag No. 10)
Aber wie genau kommt man zu den Lösungen 2 und 1-i? Was ist die Wurzel von i/2?
\quoteoff
Bist du an der gleichen Aufgabe dran? Grundsätzlich am einfachsten bekommt man Wurzeln im Komplexen per Exponential- oder Polardarstellung. In der kartesischen Darstellung bietet es sich (bei kleinen Wurzelexponenten) an, einen Ansatz der Form
\[(x+iy)^n=z\]
zu versuchen. Wobei \(z\) diejenige komplexe Zahl ist, von der die Wurzel gesucht ist. Hier würde die Gleichung so lauten:
\[(x+iy)^2=\frac{i}{2}\]
Da kannst du dich ja einmal selbst dran versuchen.
Eine andere Möglichkeit sind oft geometrische Überlegungen. In dem Zusammenhang: was ist die Wirkung von Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene? Wenn man die Antwort darauf kennt, kann man die eine oder andere Wurzel auch mal direkt angeben.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Max_804 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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