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  Symmetrische Differenz |
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JamesNguyen
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 |  Themenstart: 2022-11-01
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Hallo,
ich weiß bei Folgendem nicht wie ich es angehen kann:
Symmetrische Differenz:
A \Delta B := (A \\ B) \union\ (B \\ A)
Gezeigt werden soll:
Für eine nichtleere Menge \Omega
seien A_1, ..., A_m endlich viele Teilmengen von \Omega.
S := A_1 \Delta A_2 \Delta ... \Delta A_m
Zu zeigen:
Für jedes x \el \Omega gilt:
x \el S <=> die Anzahl der Indizes k \el {1..m} mit x \el A_k ist ungerade.
Ich habe es bisher mit Induktion probiert, bin mir aber nicht sicher,
ob das der richtige Weg ist.
Gruß,
James
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-01
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\quoteon(2022-11-01 16:54 - JamesNguyen im Themenstart)
Ich habe es bisher mit Induktion probiert, bin mir aber nicht sicher,
ob das der richtige Weg ist.
\quoteoff
Hallo JamesNguyen,
wieso bist du dir da unsicher?
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JamesNguyen
Aktiv
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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Danke der Nachfrage.
Also weil ich da glaube ich im Induktionsschritt nicht weiterkomme:
Ich habe jetzt mal benannt:
S_m := A_1 \Delta .. \Delta A_m
Wir suchen uns im Folgenden also für beliebiges aber festes m.
m Teilmengen aus \Omega.
Induktion nach m:
IA: m = 1
S_1 = A_1
Das heißt wenn x in S ist, dann ist x in A_1 und damit in genauer einer, nämlich der einzig existierenden Teilmenge A_1.
m = 2
S_2 = A_1 \Delta A_2 = (A_1 \\ A_2) \union\ (A_2 \\ A_1)
Da heißt, wenn x in S_2 ist, dann ist x entweder in A_1 oder in A_2.
Das heißt auch hier in genauer einer der A_k 's.
IS: m -> m+1:
S_(m+1) = S_m \Delta A_(m+1) = (S_m \\ A_m+1) \union\ (A_(m+1) \\ S_m)
An dieser Stelle würde ich die zwei Fälle betrachten:
1. x \el S_m \\ A_(m+1)
und
2. x \el A_(m+1) \\ S_m
Beim ersten Fall bin ich mir nicht ganz sicher. Ich würde glauben, dass
man, wenn man sagt die Induktionsvoraussetzung (IV) ist für S_m gegeben:
Man sagen kann, x \el S_m bedeutet mit (IV), dass x in einer ungeraden Anzahl der A_k 's ist mit k \el {1..m}.
Aber was passiert wenn man S_m \\ A_(m+1) betrachtet?
Beim zweiten Fall weiß ich nicht, wie ich mit A_(m+1) \\ S_m umgehen kann.
Ob es da vielleicht nötig ist die Induktionsvoraussetzung für alle n <= m zu fordern.
Bei beiden Fällen bin ich mir nicht sicher, ob man Fälle unterscheiden muss bei denen A_(m+1) nicht disjunkt von den A_1..A_m ist.
Gruß,
James
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-01
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Es geht ja nur um gerade oder ungerade.
Wenn \(x\in S_m\setminus A_{m+1}\), dann ist \(x\in S_m\) und nach IV x in ungerade vielen \(A_i\) mit \(1\leq i\leq m\) enthalten. Da \(x\not\in A_{m+1}\) bleibt es dabei, auch wenn \(1\leq i\leq m+1\) betrachtet wird.
Wenn \(x\in A_{m+1}\setminus S_m\), dann ist \(x\not\in S_m\) und nach IV x in gerade vielen \(A_i\) mit \(1\leq i\leq m\) enthalten. Da \(x\in A_{m+1}\), ist x also in ungerade vielen \(A_i\) enthalten.
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JamesNguyen
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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Vielen Dank für die klare Auflösung!
Wenn man nicht mehr den fedgeoFormeleditor benutzen möchte.
Wo kann man das lernen so wie du deinen Post gemacht hast?
Gruß,
James
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-01
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\quoteon(2022-11-01 19:27 - JamesNguyen in Beitrag No. 4)
Wenn man nicht mehr den fedgeoFormeleditor benutzen möchte.
Wo kann man das lernen so wie du deinen Post gemacht hast?
\quoteoff
Das solltest du für dein Studium auf jeden Fall lernen!
Auf dem Matheplaneten musst du nur wissen, wie man in LaTeX Formeln schreibt, und diese Formeln werden zwischen zwei Dollar-Zeichen geschrieben.
Für jedes mathematische Symbol gibt es in LaTex einen Befehl, der mit \ eingeleitet wird. Z. B. \in für $\in$ oder \setminus für $\setminus$. Dafür gibt es ausführliche Tabellen im Internet.
Ein Index wird mit _ eingeleitet. Z. B. liefert x_{123} $x_{123}$. Das gleiche für Exponenten, die mit ^ eingeleitet werden.
Ein Bruch wird so geschrieben: \frac{abc}{def}. Dies liefert \(\frac{abc}{def}\)
Da geschweifte Klammern in LaTeX eine Sonderfunktion kaben, schreibt man geschweifte Klammern mit \{ und \}: $M=\{...\}$
Es gibt unfassbar viele weitere Möglichkeiten für Wurzeln, Integrale, Vektoren, Matrizen usw., die ich jetzt nicht alle ausführen kann.
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JamesNguyen
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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Vielen Dank für das Startpaket!
(Zur Aufgabe oben, habe ich nun alles zusammen geschrieben. Da musste ich ja noch die Implikation in die andere Richtung zeigen.)
Ich werde dann ab jetzt versuchen meine Fragen in LaTeX zu formulieren und alles zu berücksichtigen, was du dazu geschrieben hast.
Gruß,
James
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-01
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Gern geschehen 😃
\quoteon(2022-11-01 20:46 - JamesNguyen in Beitrag No. 6)
Da musste ich ja noch die Implikation in die andere Richtung zeigen.
\quoteoff
Was möchtest du denn jetzt noch zeigen?
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JamesNguyen
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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In der Aufgabe war ja eine Äquivalenz gefordert.
Sowohl in meiner obigen Induktionsskizze als auch in deinem Post
wurden glaube ich nur die Implikationen in die eine Richtung formuliert.
Aber in der Induktion bekommt man über die Induktionsvoraussetzung auch
die andere Richtung hin.
Gruß,
James
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-01
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Okay, ich versuche #3 noch mal etwas exakter zu formulieren.
Fall 1: Wenn \(x\in X_m:=S_m\setminus A_{m+1}\), dann ist \(x\in S_m\); und nach IV ist das genau dann der Fall, wenn $x$ in ungerade vielen \(A_i\) mit \(1\leq i\leq m\) enthalten ist. Da \(x\not\in A_{m+1}\), ist \(x\in X_m\) genau dann, wenn \(x\) in ungerade vielen \(A_i\) mit \(1\leq i\leq m+1\) enthalten ist.
Fall 2: Wenn \(x\in Y_m:=A_{m+1}\setminus S_m\), dann ist \(x\not\in S_m\); und nach IV ist das genau dann der Fall, wenn \(x\) in gerade vielen \(A_i\) mit \(1\leq i\leq m\) enthalten ist. Da \(x\in A_{m+1}\), ist \(x\in Y_m\) genau dann, wenn \(x\) in ungerade vielen \(A_i\) mit \(1\leq i\leq m+1\) enthalten ist.
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JamesNguyen
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-01
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Ah ok, so war das gemeint.
Ich denke ich habe genau die gleiche Begründung für die Rückrichtung gewählt.
Habe aber die Rückrichtung dann nochmal separat formuliert.
Gruß,
James
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JamesNguyen hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JamesNguyen hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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