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  Stochastik Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit |
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MoMo05
Junior 
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 10
 |  Themenstart: 2022-11-02
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Aufgabe:
Es seien k, n ∈ N mit k ≤ n fest und S = {1, . . . , n} ^{1,...,k} sei die endliche Menge
aller Funktionen {1, . . . , k} → {1, . . . , n}. Es sei X eine S-wertige Zufallsvariable, deren
Verteilung PX die Laplace-Verteilung auf S ist.
Geben Sie in Abhängigkeit von k, n Formeln fur die Wahrscheinlichkeiten
i) P(X ist injektiv) an
Problem/Ansatz:
Soo, dieses Semester ist Elementare Stochastik dran. Und da würde ich euch gerne Frage, ob ich nicht für meine Ergebnismenge Omega eine Kardinalität gegeben haben muss? Denn...
X ist injektiv, bedeutet ja, dass meine Abbildung X: Omega -> S injektiv sein muss. Mir ist zudem klar, dass es nicht mehr injektive Funktionen als die Mächtigkeit von S geben kann, aber um zu sagen, wie viele es tatsächlich gibt, muss ich die Menge Omega kennen oder etwa nicht? Zudem muss ich auch für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit (La-Place Verteilung) die Gesamtanzahl an Abbildungen von X kennen und dafür bräuchte ich auch wieder Omega.
Vielen Dank schonmal für die Hilfe! LG
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AnnaKath
Senior 
Dabei seit: 18.12.2006
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-02
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Huhu MoMo05,
ein Element von $S$ ist eine Abbildung. Über diese kannst Du sagen, ob sie injektiv ist (oder nicht).
Für jedes $\omega\in\Omega$ ist also auch $X(\omega)$ eine Abbildung, nämlich eine des Typs $\{ 1, \ldots , k \} \to \{ 1, \ldots, n \},$ und somit injektiv oder nicht. Dies musst Du Dir zunächst klar machen!
Wie bei vielen anderen Aufgaben ist es auch hier völlig irrelevant wie $\Omega$ (oder auch der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$) konkret aussieht. Du benötigst nur $S$ und $P_X$ um die gestellte Frage zu beantworten.
lg, AK
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MoMo05
Junior
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-02
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Vielen Dank erstmal für die Antwort!
Das heißt, wenn ich dich richtige versteh, reicht es aus mir die Injektivität von den Funktionen, die durch S gegeben sind, anzuschauen und dann entsprechend die Anzahl aller mögliche Funktionen zu finden, um die Wahrscheinlichkeit über die Definition von La Place zu berechnen?
Und wenn ich das richtig versteh, muss ich mir dann wahrscheinlich kombinatorisch Überlegen, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt, wenn ich 1 bis k Elemente habe und diese dann auf 1 bis n abbilde, ohne dass zwei Zahlen aus mein Urbildbereich auf die gleiche Zahl abbilden?
Wäre das dann nicht das Urnenmodel ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge? Wobei dort doch noch viel mehr Möglichkeiten auftreten...hmm..
LG
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AnnaKath
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3747
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-02
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Huhu,
ja, Du beschreibst einen möglichen "Plan".
Vielleicht überlegst Du Dir zunächst, wie sich die Situation im Falle $k>n$ verhält.
Betrachte dann z.B. mal den Fall $k=n=3$. In diesem Falle hat $S$ offenbar $9$ Elemente. Wie viele Abbildungen sind davon injektiv? Nun, das sind $6$.
Wenn Du Dir das klar gemacht hast, wirst Du die Ergebnisse vermutlich verallgemeinern können.
lg, AK
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MoMo05
Junior
Dabei seit: 13.11.2020
Mitteilungen: 10
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-03
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Super vielen Dank!
Ja das habe ich mir klar gemacht, weil es ja in diesem Fall einfach die Permutationen sind und davon gibt es ja dann k! viele.
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MoMo05 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
MoMo05 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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