| Autor |
 Beweis komplexer Logarithmus |
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Kulli_123
Neu 
Dabei seit: 03.11.2022
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2022-11-03
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Hallo lieber Matheplanet!
Ich soll zeigen, dass
$$log(1+e^z) = log(1+e^{-|z|}) + max(0,z) $$
gilt (mit $z \in \mathbb{C})$.
1. In meinem Skriptum finde ich keine Definition von max(0,z)
2. Wenn ich mit den mir bekannten Regeln "herumspiele" dann finde ich einfach nie zur gewünschten Form.
habt Ihr da einen Tipp?
LG
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rlk
Senior 
Dabei seit: 16.03.2007
Mitteilungen: 11602
Wohnort: Wien
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-04
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Hallo Kulli_123,
bist Du sicher, dass due Gleichung für $z \in \IC$ gelten soll?
Für $z =i\pi$ hat der Logarithmus auf der linken Seite eine Singularität, der auf der rechten Seite nicht.
Servus,
Roland
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Kulli_123
Neu
Dabei seit: 03.11.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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Hallo Roland,
ja, also das ist die Angabe...
LG
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4624
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-04
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Diese Frage wurde auch auf stackexchange gestellt, hat aber inzwischen den Status this question was voluntarily removed by its author.
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Wario
Aktiv 
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1216
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-03 13:39 - Kulli_123 im Themenstart)
Ich soll zeigen, dass
$$log(1+e^z) = log(1+e^{-|z|}) + max(0,z) $$
gilt (mit $z \in \mathbb{C})$.
In meinem Skriptum finde ich keine Definition von max(0,z)
\quoteoff
$\log(1+e^z)$ (Hinweis: benannte Funktionen aufrecht setzen) ist ja im allgmeinen komplex. Dieses müsste also durch den Anteil '$\max(0,z)$' erzeugt werden.
Aber das kann ja nicht sein, dass man Dir kommentarlos so eine Aufgabe gibt und die Symbolik '$\max(0,z)$' nicht erklärt.
Vielleicht kannst Du mal den wortgleichen Originalaufgabentext 1:1 angeben (Screenshoot etc.)
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Kulli_123
Neu 
Dabei seit: 03.11.2022
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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Exakter Wortlaut
Zeige, dass
$$log(1+exp(z)) = log(1+exp(-|z|))+max(0,z) $$ und erkläre wieso die rechte Seite numerisch stabiler ist.
LG
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4624
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-04
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Das gilt ja offensichtlich für $z\in\mathbb R$. Aber das $z\in\mathbb C$ aus dem Startbeitrag entstammt doch sicher deiner Phantasie.
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Wario
Aktiv
Dabei seit: 01.05.2020
Mitteilungen: 1216
| Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-04
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Für reelle Argumente kann man die Regel
$\log(x+y) = \log(x) + \log(y) + \log\left( \dfrac1x +\dfrac1y \right)
$
bemühen.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4624
| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 14:29 - Wario in Beitrag No. 7)
Für reelle Argumente kann man die Regel
$\log(x+y) = \log(x) + \log(y) + \log\left( \dfrac1x +\dfrac1y \right)
$
bemühen.
\quoteoff
Es reicht eine simple Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von $z$.
$z\ge0$: $\left(1+e^{-|z|}\right)\cdot e^{\max(0,z)} =
\left(1+e^{-z}\right)\cdot e^z =
e^z+1$
$z\le0$: $\left(1+e^{-|z|}\right)\cdot e^{\max(0,z)} =
\left(1+e^z\right)\cdot 1 =
1+e^z$
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