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  Kugel zwischen Welle und geneigter Ebene |
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snt734
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 |  Themenstart: 2022-11-03
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55926_Forces.JPG
Der kleine Kreis mit Radius r stellt eine Welle dar und ist fixiert. Die große Kugel mit Radius R und Masse M liegt zwischen der Welle und der um den Winkel \(\alpha\) geneigten Ebene. Der Abstand d ist gegeben.
Wie groß ist die Normalkraft \(F_2\) auf die Ebene?
Mir fallen zur Lösung drei Gleichungen ein:
\[\sum F_x:\quad F_1\cdot\cos\beta-F_2\cdot\cos\gamma=0 \]
\[\sum F_y:\quad F_1\cdot\sin\beta+F_2\cdot\sin\gamma-M\cdot g=0 \]
\[\alpha+\gamma+90°=180°\]
\(\beta\) ist der Winkel zwischen der x-Achse und \(F_1\) und \(\gamma\) der zwischen der x-Achse und \(F_2\) und
Jetzt fehlt mir noch eine weitere Gleichung.
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semasch
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-04
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Moin snt734,
führe zunächst ein kartesisches Koordinatensystem mit Ursprung $O$ im Mittelpunkt des kleinen Kreises und üblichem Achsenverlauf ein. Bestimme darin den Vektor $\vec{XM} = \vec{OM}-\vec{OX}$ vom Schnittpunkt $X$ der $x$-Achse mit der gegebenen Geraden zum Mittelpunkt $M$ des großen Kreises sowie den zum großen Kreis weisenden Normaleneinheitsvektor $\vec{n}$ der gegebenen Geraden. Überlege dir dann, dass $\vec{XM} \cdot \vec{n} = R$ gelten muss. Daraus kann man dann $\beta$ durch $\alpha$ sowie $r, R$ und $d$ ausdrücken. Alternativ zu dieser Lösung mittels analytischer Geometrie kann man auch elementartrigonometrisch mit geeigneten Dreiecken arbeiten, um zum selben Ergebnis zu kommen.
LG,
semasch
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snt734
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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$\vec{OM}=\left(\begin{array}{c} \cos\beta \\ \sin\beta \end{array}\right)\cdot (R+r)$
$\vec{OX}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ d+r \end{array}\right)$
$\vec{XM}=\vec{OM}-\vec{OX}=\left(\begin{array}{c} (R+r)\cdot\cos\beta \\ (R+r)\cdot\cos\beta-(d+r) \end{array}\right)$
Ein Richtungsvektor der geneigten Ebene (Gerade) wäre:
$\left(\begin{array}{c} 1 \\ \tan\alpha \end{array}\right)$
und demnach ein Normaleneinheitsvektor:
$\vec{n}=\left(\begin{array}{c} -\tan\alpha \\ 1 \end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$
$\vec{XM} \cdot \vec{n} = R$ gilt weil das die Projektion von $\vec{XM}$ auf $\vec{n}$ ist und das dem Radius der großen Kugel entsprechen muss, oder?
Ausgerechnet ergibt das:
$\frac{-\tan\alpha\cdot(R+r)\cdot\cos\beta+(R+r)\cdot\sin\beta-d-r}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=R$
und jetzt?
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semasch
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 14:53 - snt734 in Beitrag No. 2)
$\vec{XM} \cdot \vec{n} = R$ gilt weil das die Projektion von $\vec{XM}$ auf $\vec{n}$ ist und das dem Radius der großen Kugel entsprechen muss, oder?
\quoteoff
Ja, genau.
Verwende jetzt noch $\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}} = \cos \alpha$, multipliziere die linke Seite deiner letzten Gleichung aus und verwende das Additionstheorem für den Sinus. Mit dem Arkussinus kannst du dann nach $\beta$ auflösen, was aber gar nicht notwendig ist, um das gewünschte Ziel zu erreichen, nämlich das Gleichungssystem nach $F_2$ aufzulösen.
LG,
semasch
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semasch
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-04
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Kleines Kommando zurück: Bei $\vec{OX}$ gehören die Komponenten vertauscht und anschließend die Folgefehler korrigiert, dann geht's aber wie beschrieben weiter.
LG,
semasch
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snt734
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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Auch mit dem Vertauschen der Komponenten komme ich händisch nicht zur Lösung. Maxima findet auch keine:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/55926_1_maxima_solve.png
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semasch
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 14:53 - snt734 in Beitrag No. 2)
Ausgerechnet ergibt das:
$\frac{-\tan\alpha\cdot(R+r)\cdot\cos\beta+(R+r)\cdot\sin\beta-d-r}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=R$
\quoteoff
Korrekt lautet diese Gleichung
\[
-((R+r) \cos(\beta) -(r+d)) \sin(\alpha) + (R+r) \sin(\beta) \cos(\alpha) = R.
\]
Die linke Seite vereinfacht sich zu
\[
(R+r) \sin(\beta-\alpha) + (r+d) \sin(\alpha),
\]
womit man auf
\[
\sin(\beta-\alpha) = \frac{R - (r+d) \sin(\alpha)}{R+r}
\]
kommt. Mit $\cos(\beta-\alpha) = \sqrt{1-\sin^2(\beta-\alpha)}$ erhältst du den Cosinus dazu.
Nimm jetzt deine ersten drei Gleichungen, eliminiere aus den ersten beiden mit der dritten zunächst $\gamma$ und linearkombiniere die ersten beiden dann passend, um $F_1$ zu eliminieren. Vereinfache die linke Seite mit dem Additionstheorem für den Cosinus und verwende dann das Ergebnis von oben für $\cos(\beta-\alpha)$ und $\sin(\beta-\alpha)$, um $F_2$ mit den gegebenen Größen auszudrücken. Dabei wirst du auch nochmal das ein oder andere Additionstheorem brauchen.
LG,
semasch
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MontyPythagoras
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-04
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Hallo zusammen,
geht es darum, eine geschlossene Formel für $F_2$ herzuleiten, oder geht es darum, für ein reales, "praktisches" Problem einen numerischen Wert zu bestimmen? Ohne es nachgerechnet zu haben, kann man doch nun die von semasch gegebene Gleichung
$$\sin(\beta-\alpha) = \frac{R - (r+d) \sin(\alpha)}{R+r}$$sehr einfach nach $\beta$ auflösen und in die ersten beiden Gleichungen (die Kräftegleichgewichte) einsetzen, so dass man dann nur noch ein 2-dimensionales lineares Gleichungssystem hat, was man nach Schema F nach $F_1$ und $F_2$ auflösen kann. Numerisch von hier an also kein Problem.
Ciao,
Thomas
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snt734
Junior
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|  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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Eine nunmerische Lösung ist im Prinzip ausreichend, aber eine analytische wäre schöner :)
Ich komme auf folgende Lösung:
\[F_{2}=\frac{M\cdot g}{\sin\alpha\cdot\tan\left[\arcsin\left(\frac{R-(d+r)\cdot\sin\alpha}{R+r}\right)+\alpha\right]+\cos\alpha}\]
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semasch
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-04
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Die angegebene Lösung kann ich so bestätigen.
LG,
semasch
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haribo
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| Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-04
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/b/35059_kugel-wall.jpg
wenn man ersatzweise annimmt es wären zwei vertikale lager V1; V2 in den berührpunkten, dann müsste man doch V2 als anteil von M leicht berechnen können, jedenfals sobald die koordinaten der berührpunkte ermittelt sind, am allereinfachsten wenn der mittelpunkt der kugel im ursprung läge
dann taucht alpha als winkel zwischen F2 und V2 auf und das ergebnis wäre:
F2 = V2 / cos alpha
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]
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snt734
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05
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Danke für die Unterstützung 👍
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