| Autor |
  nicht natürlich isomorphe Funktoren |
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lu1998
Junior 
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 |  Themenstart: 2022-11-03
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Hallo :)
Ich habe noch etwas Probleme Funktoren und natürliche Transformationen zu verstehen.
Ich betrachte die Intervallkategorie \(C=\{0\to1\}\) und die Kategorie \(Set\).
Wenn ich zwei Funktoren \(F,G:C\to Set\) betrachte, F quasi als Identität und G als konstante Abbildung, dann sind diese ja punktweise isomorph.
F und G sind aber nicht natürlich isomorph, oder? Wie zeige ich das?
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Triceratops
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-03
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Bitte definiere zunächst $F$ und $G$ präzise. (Welche Objekte werden wie abgebildet? Welche Morphismen werden wie abgebilet?)
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lu1998
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-03
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Die Intervallkategorie enthält ja als Objekte die 0 und 1 und es gibt genau einen Morphismus \(f:0\to 1\).
Ich wähle dann F so, dass \( F(0)=\{0\}\) und \(F(1)=\{1\}\) und G schickt die beiden Elemente auf die selbe, einelementige Menge in \(Set\), oder?
Ebenso wird f auf \(F(f):\{0\}\to\{1\}\) abgebildet und \(G(f)\) ist dann eine konstante Abbildung.
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Triceratops
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-03
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Dann sind $F$ und $G$ isomorph, wie man leicht sieht.
Versuche einmal ein anderes Beispiel zu finden.
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lu1998
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-03
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Okay, darauf bin ich über die Diagramme auch gekommen.
Hatte nur wo gelesen, dass es über die Identität und eine konstante Abbildung funktioniert. Da wurde aber so argumentiert, dass die Kategorie der Funktoren von C nach \(Set\) isomorph ist zur Kategorie der Morphismen in \(Set\).
Hab ich dann die Morphismen falsch in Funktoren übersetzt?
Ich bin leider ziemlich schlecht was Beispiele finden angeht. Kann ich F beibehalten und nur G anders wählen oder ist mein Ansatz komplett falsch?
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Triceratops
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-03
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Das $F$ kannst du nicht behalten. Einelementige Mengen lassen zu wenig Raum für ein Gegenbeispiel.
Der Hinweis, dass die Kategorie der Funktoren auf $\{0 \to 1\}$ zur Morphismuskategorie isomorph ist, ist natürlich hilfreich. Das zeigt nämlich, dass du lediglich zwei Abbildungen
$f,g : X \rightrightarrows Y$
finden musst, die nicht zueinander isomorph sind (die punktweise Isomorphie kommt hier daher, dass wir hier dasselbe $X$ und $Y$ nehmen). Und das sollte ja leicht sein. Tipp: wenn eine bijektive Abbildung zu einer anderen isomorph ist (in der Morphismuskategorie, versteht sich), dann ist die andere auch bijektiv. (Analog auch für injektiv und surjektiv, wenn man damit arbeiten möchte.)
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Triceratops
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| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-03
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Noch ein LaTeX-Hinweis: Kategorien wie zum Beispiel $\mathbf{Set}$ schreibe besser nicht einfach
$Set$
sondern zum Beispiel (wie ich gerade) so:
$\mathbf{Set}$
Alternativen, die auch benutzt werden:
$\mathsf{Set}$
$\mathrm{Set}$
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lu1998
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-03
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Danke für den Hinweis zu LaTeX :)
Keine Ahnung ob ich mich jetzt zu sehr auf mein Beispiel versteife, aber kann ich hier dann einfach für eine nicht einelementige Menge \(X \in Ob(\mathbf{Set})\) \(f\) als Identität und \(g\) als konstante Abbildung wählen?
Dann ist \(f\) ja offensichtlich bijektiv und \(g\) weder injektiv noch surjektiv und die Abbildungen damit nicht isomorph.
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Triceratops
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-03
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lu1998
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-03
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Vielen Dank für die Hilfe! 🙂
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