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| Autor |
  Polarkoordinatendarstellung einer Menge |
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Max_804
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 |  Themenstart: 2022-11-04
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Hallo,
ich möchte lösen:
(a) Bestimmen Sie die positiven reellen Zahlen g und h, so dass g*h = g-h = 1 gilt.
(b) Bestimmen Sie die Polarkoordinaten-Darstellung von jedem Element aus der Menge L = menge(z \el\ \IC|(z^2-hz+1) (z^2+gz+1) (z-1) = 0.)
(c) Geben Sie eine geometrische Interpretation der Menge L in der komplexen Zahlenebene an.
a) habe ich bereits gelöst.
g_1 = 1/2 - sqrt(5)/2 \and\ h_1 = -1/2 - sqrt(5)/2
bzw.
g_2 = 1/2 + sqrt(5)/2 \and\ h_2 = -1/2 + sqrt(5)/2
bei b) würde ich in die Gleichung g bzw h einsetzen und dann auflösen nehme ich an. Ist es normal, dass da sehr krumme Zahlen kommen, oder habe ich mich verrechnet? Wie übertrage ich das dann in Polarkoordinaten?
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
Die a) hast du richtig gelöst.
Für die b) musst du insbesondere ausnutzen, dass die linke Seite faktorisiert vorliegt, und dass es sich bei beiden Lösungen für \(g\) und \(h\) um den äußeren bzw. inneren "Goldenen Schnitt" handelt...
Das ist insbesondere eine Aufgabe, wo man auch ein wenig darüber nachdenken sollte. Wie der Aufgabenteil c) ja nahelegt...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 14:02 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hallo,
Die a) hast du richtig gelöst.
Für die b) musst du insbesondere ausnutzen, dass die linke Seite faktorisiert vorliegt, und dass es sich bei beiden Lösungen für \(g\) und \(h\) um den äußeren bzw. inneren "Goldenen Schnitt" handelt...
Das ist insbesondere eine Aufgabe, wo man auch ein wenig darüber nachdenken sollte. Wie der Aufgabenteil c) ja nahelegt...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ich habe erstmal versucht die 1. Gleichung z^2-hz+1=0 zu lösen - ich hoffe richtig
mit h = -1/2+sqrt(5)/2
z_1,2 = -1/2 + sqrt(5)/2 +- sqrt((sqrt(5)-1))/2*i
Für den Radius kriege ich 1 raus. Für das Argument habe ich umgerechnet in Grad 51.83 Grad. So richtig?
Achso, und es reicht wenn ich mit einem der Lösungen von g und h arbeite, da wird ja bei beiden das gleiche rauskommen oder?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-11-04 15:03 - Max_804 in Beitrag No. 2)
Ich habe erstmal versucht die 1. Gleichung z^2-hz+1=0 zu lösen - ich hoffe richtig
mit h = -1/2+sqrt(5)/2
z_1,2 = -1/2 + sqrt(5)/2 +- sqrt((sqrt(5)-1))/2*i
\quoteoff
Nein, das stimmt so nicht. Und ich glaube auch, dass du einfach mit purem Ausrechnen der Lösungen nicht - oder wenn überhaupt, dann nur mit Hilfe von CAS oder Taschenrechner - siehst, um was es hier eigentlich geht, und dass insbesondere die Argumente der Lösungen hier exakt anzugeben sind (und das ist auch möglich).
Was du richtig hast ist \(r=1\) für alle fünf Lösungen der Gleichung.
Um klarer zu sehen, worum es geht:
- Multipliziere einmal die beiden ersten alle drei Klammern aus und nutze dabei den Aufgabenteil a)
- Mit welcher geometrischen Figur bringst du den goldenen Schnitt in Verbindung?
PS: kann es sein, dass im Themenstart bei der Definition der Menge L ein Fehler ist? Jedenfalls würde ein Faktor \((z+1)\) an dieser Stelle deutlich mehr Sinn machen...
PPS: das PS beruhte auf einem Rechenfehler meinerseits.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 16:26 - Diophant in Beitrag No. 3)
Hallo,
\quoteon(2022-11-04 15:03 - Max_804 in Beitrag No. 2)
Ich habe erstmal versucht die 1. Gleichung z^2-hz+1=0 zu lösen - ich hoffe richtig
mit h = -1/2+sqrt(5)/2
z_1,2 = -1/2 + sqrt(5)/2 +- sqrt((sqrt(5)-1))/2*i
\quoteoff
Nein, das stimmt so nicht. Und ich glaube auch, dass du einfach mit purem Ausrechnen der Lösungen nicht - oder wenn überhaupt, dann nur mit Hilfe von CAS oder Taschenrechner - siehst, um was es hier eigentlich geht, und dass insbesondere die Argumente der Lösungen hier exakt anzugeben sind (und das ist auch möglich).
Was du richtig hast ist \(r=1\) für alle fünf Lösungen der Gleichung.
Um klarer zu sehen, worum es geht:
- Multipliziere einmal die beiden ersten alle drei Klammern aus und nutze dabei den Aufgabenteil a)
- Mit welcher geometrischen Figur bringst du den goldenen Schnitt in Verbindung?
PS: kann es sein, dass im Themenstart bei der Definition der Menge L ein Fehler ist? Jedenfalls würde ein Faktor \((z+1)\) an dieser Stelle deutlich mehr Sinn machen...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo,
nein da steht tatsächlich (z-1). Habe auch bemerkt da g*h = 1 gilt, dass es sich wegkürzen wird. Es bleibt wenn ich die ersten drei ausmultipliziere:
$(z^4+z^3+z^2+z+1)(z-1) = 0$.
Und wenn ich das nochmal ausmultipliziere bleibt $z^5-1=0$.
Mit dem goldenen Schnitt bringe ich das Pentagramm in Verbindung.
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
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\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
nein da steht tatsächlich (z-1).
\quoteoff
Ja, ich habe nochmal nachgerechnet: das passt (ich hatte mich selbst beim Ausmultiplizieren der Klammern vertan).
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
Habe auch bemerkt da g*h = 1 gilt, dass es sich wegkürzen wird.
\quoteoff
Gekürzt wird nur bei Brüchen. Hier vereinfacht sich etwas, das sollte man schon präzise benennen.
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
Es bleibt wenn ich die ersten drei ausmultipliziere:
$(z^4+z^3+z^2+z+1)(z-1) = 0$.
Und wenn ich das nochmal ausmultipliziere bleibt $z^5-1=0$.
\quoteoff
Das ist richtig. An diesem Resultat gehst du mir aber etwas zu achtlos vorbei. Was bedeutet diese Gleichung denn, wo liegen ihre Lösungen?
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
Mit dem goldenen Schnitt bringe ich das Pentagramm in Verbindung.
\quoteoff
Ja: und wenn das für die Aufgabe hier nicht von essenzieller Bedeutung wäre, hätte ich nicht gefragt. Also: mache doch mal etwas draus. Mathematik besteht doch nicht daraus, stumpfsinnig Aufgaben zu lösen, sondern erst durch die Interpretation der Lösungen, durch das Verstehen ihrer Bedeutung, wird sie wirklich interessant.
Natürlich könntest du die 5 Lösungen auch stur ausrechnen, indem du eine Lösung aus dem Linearfaktor abliest und für die quadratischen Faktoren die enstprechenden Gleichungen löst, wie du es ja versucht hast. Dann musst du aber in vier Fällen erst einmal noch auf das Argument kommen, um die Polarform hinzuschreiben. Diese "Beschäftigungstherapie" wollte ich dir mit meinen Tipps gerne ersparen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 19:38 - Diophant in Beitrag No. 5)
Hallo,
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
nein da steht tatsächlich (z-1).
\quoteoff
Ja, ich habe nochmal nachgerechnet: das passt (ich hatte mich selbst beim Ausmultiplizieren der Klammern vertan).
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
Habe auch bemerkt da g*h = 1 gilt, dass es sich wegkürzen wird.
\quoteoff
Gekürzt wird nur bei Brüchen. Hier vereinfacht sich etwas, das sollte man schon präzise benennen.
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
Es bleibt wenn ich die ersten drei ausmultipliziere:
$(z^4+z^3+z^2+z+1)(z-1) = 0$.
Und wenn ich das nochmal ausmultipliziere bleibt $z^5-1=0$.
\quoteoff
Das ist richtig. An diesem Resultat gehst du mir aber etwas zu achtlos vorbei. Was bedeutet diese Gleichung denn, wo liegen ihre Lösungen?
\quoteon(2022-11-04 19:17 - Max_804 in Beitrag No. 4)
Mit dem goldenen Schnitt bringe ich das Pentagramm in Verbindung.
\quoteoff
Ja: und wenn das für die Aufgabe hier nicht von essenzieller Bedeutung wäre, hätte ich nicht gefragt. Also: mache doch mal etwas draus. Mathematik besteht doch nicht daraus, stumpfsinnig Aufgaben zu lösen, sondern erst durch die Interpretation der Lösungen, durch das Verstehen ihrer Bedeutung, wird sie wirklich interessant.
Natürlich könntest du die 5 Lösungen auch stur ausrechnen, indem du eine Lösung aus dem Linearfaktor abliest und für die quadratischen Faktoren die enstprechenden Gleichungen löst, wie du es ja versucht hast. Dann musst du aber in vier Fällen erst einmal noch auf das Argument kommen, um die Polarform hinzuschreiben. Diese "Beschäftigungstherapie" wollte ich dir mit meinen Tipps gerne ersparen...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Hallo,
die Lösungen liegen außen an einem Kreis mit dem Radius 1, und es sind 5 Lösungen. Zu den Lösungen würde ich sagen komme ich mit dem Satz von Moivre - die Abstände zwischen den Punkte sind auch immer gleich bzw Vielfache voneinander
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Diophant
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| Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 20:11 - Max_804 in Beitrag No. 6)
die Lösungen liegen außen an einem Kreis mit dem Radius 1, und es sind 5 Lösungen. Zu den Lösungen würde ich sagen komme ich mit dem Satz von Moivre - die Abstände zwischen den Punkte sind auch immer gleich bzw Vielfache voneinander
\quoteoff
Ja: und was ergeben diese Lösungen dann wohl für eine Figur? Was bedeutet deine Ereknntnis für die Argumente der fünf Lösungen?
Mache dir vielleicht einmal eine Skizze...
Gruß, Diophant
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Max_804
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 20:13 - Diophant in Beitrag No. 7)
\quoteon(2022-11-04 20:11 - Max_804 in Beitrag No. 6)
die Lösungen liegen außen an einem Kreis mit dem Radius 1, und es sind 5 Lösungen. Zu den Lösungen würde ich sagen komme ich mit dem Satz von Moivre - die Abstände zwischen den Punkte sind auch immer gleich bzw Vielfache voneinander
\quoteoff
Ja: und was ergeben diese Lösungen dann wohl für eine Figur? Was bedeutet deine Ereknntnis für die Argumente der fünf Lösungen?
Mache dir vielleicht einmal eine Skizze...
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ich kriege ein Pentagramm (wenn man es so nennen darf). Da in a) gesagt wurde die Lösungen mit positiven reellen Zahlen - ist das Argument von allen 0 - ich weiß jetzt nicht wie es erklären soll, aber der Winkel zwischen allen ist gleich und es sind Vielfache von 2pi, bzw 360/5 = 72, also ist der Abstand zwischen allen 72 Grad.
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Diophant
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| Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
\quoteon(2022-11-04 20:22 - Max_804 in Beitrag No. 8)
Ich kriege ein Pentagramm (wenn man es so nennen darf).
\quoteoff
Regelmäßiges Fünfeck trifft es besser.
\quoteon(2022-11-04 20:22 - Max_804 in Beitrag No. 8)
Da in a) gesagt wurde die Lösungen mit positiven reelle Zahlen - ist das Argument von allen 0
\quoteoff
Nein, jetzt bringst du etwas durcheinander. Das gilt ja nur für die beiden Koeffizienten \(g\) und \(h\). Aber die Lösungen der Definitionsgleichung der Menge L sind komplexe Zahlen. Und falls es nicht klar ist:
Das Argument einer komplexen Zahl.
Diese Argumente benötigst du für die Darstellung in Polarkoordinaten.
\quoteon(2022-11-04 20:22 - Max_804 in Beitrag No. 8)
ich weiß jetzt nicht wie es erklären soll, aber der Winkel zwischen allen ist gleich und es sind Vielfache von 2pi, bzw 360/5 = 72, also ist der Abstand zwischen allen 72 Grad.
\quoteoff
Ja schon. Aber warum ziehst du daraus keine Schlussfolgerungen, die dich bei deiner Aufgabe weiterbringen?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 20:29 - Diophant in Beitrag No. 9)
Hallo,
\quoteon(2022-11-04 20:22 - Max_804 in Beitrag No. 8)
Ich kriege ein Pentagramm (wenn man es so nennen darf).
\quoteoff
Regelmäßiges Fünfeck trifft es besser.
\quoteon(2022-11-04 20:22 - Max_804 in Beitrag No. 8)
Da in a) gesagt wurde die Lösungen mit positiven reelle Zahlen - ist das Argument von allen 0
\quoteoff
Nein, jetzt bringst du etwas durcheinander. Das gilt ja nur für die beiden Koeffizienten \(g\) und \(h\). Aber die Lösungen der Definitionsgleichung der Menge L sind komplexe Zahlen. Und falls es nicht klar ist:
Das Argument einer komplexen Zahl.
Diese Argumente benötigst du für die Darstellung in Polarkoordinaten.
\quoteon(2022-11-04 20:22 - Max_804 in Beitrag No. 8)
ich weiß jetzt nicht wie es erklären soll, aber der Winkel zwischen allen ist gleich und es sind Vielfache von 2pi, bzw 360/5 = 72, also ist der Abstand zwischen allen 72 Grad.
\quoteoff
Ja schon. Aber warum ziehst du daraus keine Schlussfolgerungen, die dich bei deiner Aufgabe weiterbringen?
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau was ich dazu sagen soll. Vielleicht dass es bei der x-Achse anfängt und wieder an der x-Achse aufhört wegen k*2pi? Oder dass eine andere Lösung jeweils die komplex konjugierte von einer Lösung ist? (außer bei k=4)
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Diophant
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| Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-11-04 20:37 - Max_804 in Beitrag No. 10)
Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau was ich dazu sagen soll. Vielleicht dass es bei der x-Achse anfängt und wieder an der x-Achse aufhört wegen k*2pi? Oder dass eine andere Lösung jeweils die komplex konjugierte von einer Lösung ist?
\quoteoff
Du hast doch schon alles richtig beschrieben. Du musst jetzt nur noch die fünf Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks, von dem ein Eckpunkt bei \(z=1\) liegt, in Polardarstellung angeben. Und natürlich kann man dabei ausnutzen, dass jeweils zwei der vier weiteren Eckpunkte konjugiert komplex sind. Außerdem liegen (auch das hast du schon herausgefunden) alle fünf Ecken auf einem Kreis mit Radius 1 um \(z=0\).
Aber anstatt weiter darüber zu philosophieren: schreibe die Lösungen doch einmal wie gefordert hin, du hast doch alles beisammen, was du benötigst!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 20:42 - Diophant in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-11-04 20:37 - Max_804 in Beitrag No. 10)
Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau was ich dazu sagen soll. Vielleicht dass es bei der x-Achse anfängt und wieder an der x-Achse aufhört wegen k*2pi? Oder dass eine andere Lösung jeweils die komplex konjugierte von einer Lösung ist?
\quoteoff
Du hast doch schon alles richtig beschrieben. Du musst jetzt nur noch die fünf Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks, von dem ein Eckpunkt bei \(z=1\) liegt, in Polardarstellung angeben. Und natürlich kann man dabei ausnutzen, dass jeweils zwei der vier weiteren Eckpunkte konjugiert komplex sind. Außerdem liegen (auch das hast du schon herausgefunden) alle fünf Ecken auf einem Kreis mit Radius 1 um \(z=0\).
Aber anstatt weiter darüber zu philosophieren: schreibe die Lösungen doch einmal wie gefordert hin, du hast doch alles beisammen, was du benötigst!
Gruß, Diophant
\quoteoff
Die Lösungen wären:
1^(1/5)*(cos(2\pi/5)+i*sin(2\pi/5)
1^(1/5)*(cos(4\pi/5)+i*sin(4\pi/5)
1^(1/5)*(cos(6\pi/5)+i*sin(6\pi/5)
1^(1/5)*(cos(8\pi/5)+i*sin(8\pi/5)
1^(1/5)*(cos(10\pi/5)+i*sin(10\pi/5)) = 1^(1/5)*(cos(2\pi)+i*sin(2\pi)
Natürlich mit 1^(1/5) = 1.
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Diophant
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| Beitrag No.13, eingetragen 2022-11-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2022-11-04 20:50 - Max_804 in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-11-04 20:42 - Diophant in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-11-04 20:37 - Max_804 in Beitrag No. 10)
Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau was ich dazu sagen soll. Vielleicht dass es bei der x-Achse anfängt und wieder an der x-Achse aufhört wegen k*2pi? Oder dass eine andere Lösung jeweils die komplex konjugierte von einer Lösung ist?
\quoteoff
Du hast doch schon alles richtig beschrieben. Du musst jetzt nur noch die fünf Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks, von dem ein Eckpunkt bei \(z=1\) liegt, in Polardarstellung angeben. Und natürlich kann man dabei ausnutzen, dass jeweils zwei der vier weiteren Eckpunkte konjugiert komplex sind. Außerdem liegen (auch das hast du schon herausgefunden) alle fünf Ecken auf einem Kreis mit Radius 1 um \(z=0\).
Aber anstatt weiter darüber zu philosophieren: schreibe die Lösungen doch einmal wie gefordert hin, du hast doch alles beisammen, was du benötigst!
Gruß, Diophant
\quoteoff
Die Lösungen wären:
1^(1/5)*(cos(2\pi/5)+i*sin(2\pi/5)
1^(1/5)*(cos(4\pi/5)+i*sin(4\pi/5)
1^(1/5)*(cos(6\pi/5)+i*sin(6\pi/5)
1^(1/5)*(cos(8\pi/5)+i*sin(8\pi/5)
1^(1/5)*(cos(10\pi/5)+i*sin(10\pi/5)) = 1^(1/5)*(cos(2\pi)+i*sin(2\pi)
Natürlich mit 1^(1/5) = 1.
\quoteoff
Na also. Geht doch. 👍
(Wobei man die fünfte Lösung noch enstscheidend vereinfachen kann, das ist dir hoffentlich klar?)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-04
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\quoteon(2022-11-04 20:51 - Diophant in Beitrag No. 13)
Hallo,
\quoteon(2022-11-04 20:50 - Max_804 in Beitrag No. 12)
\quoteon(2022-11-04 20:42 - Diophant in Beitrag No. 11)
\quoteon(2022-11-04 20:37 - Max_804 in Beitrag No. 10)
Ehrlich gesagt weiß ich nicht genau was ich dazu sagen soll. Vielleicht dass es bei der x-Achse anfängt und wieder an der x-Achse aufhört wegen k*2pi? Oder dass eine andere Lösung jeweils die komplex konjugierte von einer Lösung ist?
\quoteoff
Du hast doch schon alles richtig beschrieben. Du musst jetzt nur noch die fünf Eckpunkte des regelmäßigen Fünfecks, von dem ein Eckpunkt bei \(z=1\) liegt, in Polardarstellung angeben. Und natürlich kann man dabei ausnutzen, dass jeweils zwei der vier weiteren Eckpunkte konjugiert komplex sind. Außerdem liegen (auch das hast du schon herausgefunden) alle fünf Ecken auf einem Kreis mit Radius 1 um \(z=0\).
Aber anstatt weiter darüber zu philosophieren: schreibe die Lösungen doch einmal wie gefordert hin, du hast doch alles beisammen, was du benötigst!
Gruß, Diophant
\quoteoff
Die Lösungen wären:
1^(1/5)*(cos(2\pi/5)+i*sin(2\pi/5)
1^(1/5)*(cos(4\pi/5)+i*sin(4\pi/5)
1^(1/5)*(cos(6\pi/5)+i*sin(6\pi/5)
1^(1/5)*(cos(8\pi/5)+i*sin(8\pi/5)
1^(1/5)*(cos(10\pi/5)+i*sin(10\pi/5)) = 1^(1/5)*(cos(2\pi)+i*sin(2\pi)
Natürlich mit 1^(1/5) = 1.
\quoteoff
Na also. Geht doch. 👍
Gruß, Diophant
\quoteoff
Und zur Interpretation dann, dass es sich hier um den goldenen Schnitt handelt, und ein Fünfeck entsteht?
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Diophant
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| Beitrag No.15, eingetragen 2022-11-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2022-11-04 20:55 - Max_804 in Beitrag No. 14)
Und zur Interpretation dann, dass es sich hier um den goldenen Schnitt handelt, und ein Fünfeck entsteht?
\quoteoff
So einfach ist es auch wieder nicht. Lassen wir es einmal bei dem, was die Aufgabe erfordert:
Mit den Lösungen aus a) hast du b) gelöst und damit - wie auch immer - die Erkenntnis gewonnen, dass diese Lösungen alle ein regelmäßiges Fünfeck auf dem Einheitskreis der Gaußschen Ebene bilden, mit einem Eckpunkt in \(z=1\). Eine hinreichende Begründung dafür steht dir mit der Formel von Moivre zur Verfügung, und so ist die Aufgabe vermutlich auch gedacht.
Bereits von vorneweg anhand des Gleichungssystems und der Definition der Menge L zu sehen, dass es um ein regelmäßiges Fünfeck geht, das erfordert dann schon ein wenig mehr Kenntnisse über die komplexe Arithmetik und ihre geometrischen Entsprechungen.
Die Aufgabe sollte eigentlich eine gute Motivation für dich sein, die Thematik einmal grundsätzlicher zu studieren, abseits vom Lösen von Übungsaufgaben.
Man muss ja nicht jedes Lehrbuch gleich kaufen. Du könntest jedoch bspw. einmal schauen, ob du im Bestand der Bibliothek deiner Hochschule (oder einer anderen Leihbibliothek deiner Wahl) dieses Lehrbuch findest, und daraus einmal die ersten zwei Kapitel durcharbeiten und vor allem die Übungsaufgaben bearbeiten. Die sind recht umfangreich, aber viel spannender und lehrreicher, als das, was du offensichtlich so durchackern musst.
Das wäre doch einmal ein Projekt für die nächsten Semesterferien?
Hier sind wir jedenfalls im Sinne der Aufgabe fertig.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Diophant
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| Beitrag No.16, eingetragen 2022-11-05
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmal,
ich war hier etwas vorschnell fertig, sorry. Denn das hier:
\quoteon(2022-11-04 15:03 - Max_804 in Beitrag No. 2)
Achso, und es reicht wenn ich mit einem der Lösungen von g und h arbeite, da wird ja bei beiden das gleiche rauskommen oder?
\quoteoff
stimmt leider nicht. Das hatte ich dir aber vorschnell bestätigt. Sorry dafür.
Rechne also auch noch die Lösungen für das zweite Paar \((g_2,h_2)\) aus und ziehe daraus deine Schlussfolgerungen. Tipp: hier hilft es dir, den Faktor \((z-1)\) einmal durch denn Faktor \((z+1)\) zu ersetzen und wiederum alles auszumultiplizieren. Dann siehst du schnell, wo diese restlichen Lösungen liegen müssen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-07
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\quoteon(2022-11-05 10:51 - Diophant in Beitrag No. 16)
Hallo nochmal,
ich war hier etwas vorschnell fertig, sorry. Denn das hier:
\quoteon(2022-11-04 15:03 - Max_804 in Beitrag No. 2)
Achso, und es reicht wenn ich mit einem der Lösungen von g und h arbeite, da wird ja bei beiden das gleiche rauskommen oder?
\quoteoff
stimmt leider nicht. Das hatte ich dir aber vorschnell bestätigt. Sorry dafür.
Rechne also auch noch die Lösungen für das zweite Paar \((g_2,h_2)\) aus und ziehe daraus deine Schlussfolgerungen. Tipp: hier hilft es dir, den Faktor \((z-1)\) einmal durch denn Faktor \((z+1)\) zu ersetzen und wiederum alles auszumultiplizieren. Dann siehst du schnell, wo diese restlichen Lösungen liegen müssen.
Gruß, Diophant
\quoteoff
In a) steht doch aber positive reelle Lösungen, das zweite Lösungspaar ist doch negativ oder nicht?
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Diophant
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| Beitrag No.18, eingetragen 2022-11-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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Hallo,
\quoteon(2022-11-07 13:03 - Max_804 in Beitrag No. 17)
In a) steht doch aber positive reelle Lösungen, das zweite Lösungspaar ist doch negativ oder nicht?
\quoteoff
Ja, da hast du recht. Nochmal ein dickes sorry, denn das hatte ich überlesen.
Ich habe es gerade mit \(g=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\) und \(h=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\) nochmal nachgerechnet: dann sind wir in der Tat fertig.
Die Lösungen für das negative Paar \((g,h)\) sind trotzdem auch interessant. Sie liefern für die ersten beiden Klammern das Polynom \(z^4-z^3+z^2-z+1\). Multipliziert man das mit \(z+1\), so bekommt man \(z^5+1\). Dessen Nullstellen bilden ebenfalls ein Fünfeck auf dem Einheitskreis, aber die reelle Lösung liegt hier bei \(z=-1\). Beide Fünfecke ergänzen sich demnach - übereinandergelegt - zu einem regelmäßigen Zehneck.
Würde man jetzt also dieses negative Lösungspaar dazunehmen, dann hätte man im Prinzip für L neun von zehn Ecken dieses Zehnecks. Nur die Ecke \(z=-1\) wäre ausgenommen, da dafür der Faktor \(z+1\) fehlt.
Also: nochmals sorry für den Wirbel.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Max_804 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Max_804 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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