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Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » Garbe in S(G) erhält Monomorphismen
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Universität/Hochschule Garbe in S(G) erhält Monomorphismen
Kezer
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  Themenstart: 2022-11-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Hi, sei $G$ eine topologische Gruppe, $\mathbf{BG}$ die Kategorie der stetigen (rechten) $G$-Mengen und $S(G) \hookrightarrow \mathbf{BG}$ die volle Unterkategorie erzeugt durch $G$-Mengen der Form $G/U$ für offene Untergruppen $U \subseteq G$. Wir statten $S(G)$ mit der atomaren Grothendieck-Topologie aus, d.h. die nicht-leeren Siebe bilden die Überdeckungen. Dann soll gelten: Wenn $\mathcal{F}$ eine Garbe auf $S(G)$ ist und $V \subseteq U$, dann ist die durch die Projektion induzierte Abbildung $\mathcal{F}(G/U) \to \mathcal{F}(G/V)$ ein Monomorphismus. Wieso gilt das? Die Aussage kommt auf S. 154 von MacLane, Moerdijks Sheaves in Geometry and Logic vor.\(\endgroup\)

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Triceratops
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-04

Benutze einfach die Garbenbedingung für das Sieb $\{G/V \to G/U\}$. Allgemeiner werden Garben auf einem atomaren Situs in Lemma 2 auf S. 126 beschrieben. Achte dort auf das Wort "unique". Die Separiertheit bedeutet hier gerade, dass alle Morphismen des Situs auf Monomorphismen abgebildet werden.

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Kezer
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Danke! Nur eine kleine Korrektur: $\{G/V \to G/U \}$ ist i.A. kein Sieb, aber wir nehmen einfach den erzeugten Sieb. Sei $h: G/U \to G/V$ der Morphismus und sei $h^*(x) = h^*(y)$. Für $f:G/V \to G/W$ ist insbesondere dann auch $f^* h^*(x) = f^* h^*(y)$, somit ist $\phi^*(x) = \phi^*(y)$ für alle $\phi \in (\{G/U \to G/V \})$. Also ist $x = y$ nach Separiertheit von $\mathcal{F}$.\(\endgroup\)

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Triceratops
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-06

\quoteon(2022-11-06 10:59 - Kezer in Beitrag No. 2) Danke! Nur eine kleine Korrektur: $\{G/V \to G/U \}$ ist i.A. kein Sieb, aber wir nehmen einfach den erzeugten Sieb. \quoteoff Stimmt. Ich dachte wohl eher an Prätopologien (https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+pretopology).

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Kezer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kezer hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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