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| Autor |
  Komplement der Menge M:={liminf f_n ≥ f} |
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WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 477
 |  Themenstart: 2022-11-05
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Hallo,
Im Kontext der Frage
"Was ist das Komplement von $M:=\left\{x\in\mathbb{R}\mid \liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x)\geq f(x)\right\}$?"
bin ich auf folgendes Problem gestoßen.
Wir sehen, dass
$
\begin{align*}
&M=\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)>\frac{1}{m}\right\}\cup\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)-f_j(x)<\frac{1}{m}\right\}.
\end{align*}$
Daher folgt mittels De Morganscher Regeln
$
\begin{align*}
&M^c=\left\{x\in\mathbb{R}\mid \liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x)< f(x)\right\}\\
&=\left(\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)>\frac{1}{m}\right\}\cup\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)-f_j(x)<\frac{1}{m}\right\}\right)^c\\
&=\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)\leq\frac{1}{m}\right\}\cap\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)-f_j(x)\geq\frac{1}{m}\right\}.
\end{align*}$
Betrachten wir nun das Beispiel $f:\mathbb{R}\to\{0\}$ und $f_n:\mathbb{R}\to\{-1,1\}$ mit $f_n(x)=(-1)^n$, dann gilt $\liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x)=-1<0$ for all $x\in\mathbb{R}$. Jetzt sehen wir aber, dass
$$
\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)\leq\frac{1}{m}\right\}=\emptyset.
$$
Das macht keinen Sinn. Wo liegt mein Fehler?
Viele Grüße
WagW
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 Profil
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4652
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-05
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\quoteon(2022-11-05 13:43 - WagW im Themenstart)
Wo liegt mein Fehler?
\quoteoff
Du arbeitest wieder mit deinem "wir sehen dass" ohne ein Argument dafür anzugeben.
\quoteon(2022-11-05 13:43 - WagW im Themenstart)
$
\begin{align*}
&M=\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)>\frac{1}{m}\right\}\cup\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)-f_j(x)<\frac{1}{m}\right\}.
\end{align*}$
\quoteoff
Für ein $x$ in der linken Menge ist $f_j(x)$ für unendlich viele Indizes größer als $f(x)$. Daraus folgt aber gar nichts für den Limes inferior.
--zippy
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Profil
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WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 477
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05
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Hi zippy,
ouh ja ich sehs 😖
die linke Menge ist zu weit gefasst. Ich muss stattdessen sichergehen, dass ab einem Index wirklich für alle $f_n(\omega)>f(\omega)$ gilt, also
$
\begin{align*}
&M=\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)>\frac{1}{m}\right\}\cup\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)-f_j(x)<\frac{1}{m}\right\}.
\end{align*}$
Damit gilt dann für das Komplement
$
\begin{align*}
&M^c=\left(\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)>\frac{1}{m}\right\}\cup\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)-f_j(x)<\frac{1}{m}\right\}\right)^c\\
&=\bigcap\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f_j(x)-f(x)\leq\frac{1}{m}\right\}\cap\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{j=n}^{\infty}\left\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)-f_j(x)\geq\frac{1}{m}\right\}.
\end{align*}$
Ok das war dann doch einfacher als ich dachte😄
Danke für den Hinweis und viele Grüße
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WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
WagW hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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