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Mathematik » Logik, Mengen & Beweistechnik » Wann ist ein Beweis/Beweisstruktur korrekt?
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Universität/Hochschule Wann ist ein Beweis/Beweisstruktur korrekt?
spikespiegel43
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Dabei seit: 13.12.2020
Mitteilungen: 30
  Themenstart: 2022-11-05

Hallo, angenommen ich möchte einen direkten Beweis führen, dann ist dieser ja von der Form \(A \Rightarrow B \), wobei A wahr sein muss, denn wenn A falsch ist, dann wäre es sowieso wahr. Jetzt zum folgenden Fall. Angenommen ich habe die Vektoren \(v_1,...,v_k\) und definiere mir, dass für diese gilt: \(a_1, ..., a_k=0 \Rightarrow a_1*v_1+...+a_k*v_k=0\). Jetzt möchte ich mir die Frage stellen, ob diese linear unabhängig sind. Das kann ich beantworten, indem ich folgendes mache. Wenn \(a_1,...,a_k \neq 0\) und \(a_1*v_1+...+a_k*v_k=0\). Dann ist ja der erste Teil falsch und der zweite Teil wahr, was im Widerspruch zur linearen Abhängigkeit steht. Jetzt ist meine Frage: Ist das so korrekt? Wenn wir nochmal schauen, wie ein Beweis funktioniert, dann muss \(A \Rightarrow B \) gelten und A muss wahr sein. Da A in diesem Fall aber wiederrum aus einer Implikation besteht nennen wir die jetzt mal \(A = C \Rightarrow D\) und ich bei C mit einer unwahren Behauptung angefangen habe, ist das von der Beweisstruktur dann korrekt?


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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-05

Hi spikespiegel43, die Implikation \(a_1, ..., a_k=0 \Rightarrow a_1*v_1+...+a_k*v_k=0\) ist trivialerweise wahr, es bringt also nichts, die Gültigkeit dieser Implikation festzustellen. \quoteon(2022-11-05 14:06 - spikespiegel43 im Themenstart) ... und der zweite Teil wahr, was im Widerspruch zur linearen Abhängigkeit steht. \quoteoff Du meinst "im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit". Gruß Buri


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thureduehrsen
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-11-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\) Hallo spikespiegel43, \quoteon(2022-11-05 14:06 - spikespiegel43 im Themenstart) Wenn wir nochmal schauen, wie ein Beweis funktioniert, dann muss \(A \Rightarrow B \) gelten und A muss wahr sein. \quoteoff Ich dachte, du willst die Implikation \(A \Rightarrow B \) zeigen und nicht ihre Gültigkeit voraussetzen? mfg thureduehrsen \(\endgroup\)


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Kitaktus
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-07

\quoteon(2022-11-05 14:06 - spikespiegel43 im Themenstart) [M]eine Frage: Ist das so korrekt? \quoteoff Nein, auch wenn schwer zu verstehen ist, was Du eigentlich machen willst. Aus \(a_1, ..., a_k=0 \Rightarrow a_1*v_1+...+a_k*v_k=0 \) (1) folgt nicht, dass die Vektoren linear unabhängig sind. (1) gilt für alle Vektoren, ob linear unabhängig oder nicht. Anders ausgedrückt: \(a_1, ..., a_k=0\) ist immer eine Lösung des Gleichungssystems \(a_1*v_1+...+a_k*v_k=0 \). Linear unabhängig nennt man die Vektoren, wenn das auch die _einzige_ Lösung ist. Ein "Beweis" für lineare Unabhängigkeit, der keine speziellen Eigenschaften der Vektoren benutzt, _kann_ nicht richtig sein.


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