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Logik, Mengen & Beweistechnik » Relationen und Abbildungen » Äquivalenzrelation oder Halbordnung?
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Universität/Hochschule J Äquivalenzrelation oder Halbordnung?
ARandomStudent
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  Themenstart: 2022-11-05

Sei R ⊆ N x N. Für die Relation R gilt: aRb <=> ggT(a,b) > 1. Mein Ansatz wäre halt entweder a≤b quasi bei jeder Bedingung zu vergleichen, also bei Symmetrie a≤b => b≤a oder immer z. B. ggT(a,b) => ggT(b,a). Bin mir extrem unsicher, was ich statt dem R schreiben soll. Was davon wäre richtig?


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tactac
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-05

Hallo ARandomStudent, willkommen auf dem Matheplaneten! @Thread-Titel: Die Relation ist weder eine Äquivalenzrelaion, noch eine Halbordnung. Sie ist aber ganz offensichtlich symmetrisch. \quoteon Bin mir extrem unsicher, was ich statt dem R schreiben soll. \quoteoff Verstehe ich nicht.


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ARandomStudent
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05

\quoteon(2022-11-05 21:44 - tactac in Beitrag No. 1) @Thread-Titel: Die Relation ist weder eine Äquivalenzrelaion, noch eine Halbordnung. Sie ist aber ganz offensichtlich symmetrisch. \quoteon Bin mir extrem unsicher, was ich statt dem R schreiben soll. \quoteoff Verstehe ich nicht. \quoteoff Naja, also was genau soll ich bei Reflexivität z. B. untersuchen? Gilt da zu untersuchen, ob für alle aRa: ggT(a,a)>1? Oder für alle aRa: a≤a?


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tactac
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}} \newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\) Reflexivität von $R$ heißt: Für alle $a$, $aRa$. Und da $R$ so definiert ist, wie es definiert ist, bedeutet es für dieses konkrete $R$: Für alle $a$: $ggT(a,a) > 1$\(\endgroup\)


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ARandomStudent
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05

\quoteon(2022-11-05 21:53 - tactac in Beitrag No. 3) Reflexivität von $R$ heißt: Für alle $a$, $aRa$. Und da $R$ so definiert ist, wie es definiert ist, bedeutet es für dieses konkrete $R$: Für alle $a$: $ggT(a,a) > 1$ \quoteoff Okey, also ist die Relation im Endeffekt nur symmetrisch?


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tactac
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  Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-05

\quoteon(2022-11-05 21:56 - ARandomStudent in Beitrag No. 4) Okey, also ist die Relation im Endeffekt nur symmetrisch? \quoteoff Ja.


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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05

\quoteon(2022-11-05 21:59 - tactac in Beitrag No. 5) \quoteon(2022-11-05 21:56 - ARandomStudent in Beitrag No. 4) Okey, also ist die Relation im Endeffekt nur symmetrisch? \quoteoff Ja. \quoteoff Vielen Dank für deine Hilfe! :D. Damit wären meine Fragen geklärt


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tactac
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  Beitrag No.7, eingetragen 2022-11-05

Na gut, streng genommen ist sie natürlich nicht nur symmetrisch. Sie hat durchaus darüberhinausgehende Eigenschaften. Aber sie ist zumindest nich transitiv und nicht reflexiv und nicht antisymmetrisch. :D


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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05

\quoteon(2022-11-05 22:09 - tactac in Beitrag No. 7) Na gut, streng genommen ist sie natürlich nicht nur symmetrisch. Sie hat durchaus darüberhinausgehende Eigenschaften. Aber sie ist zumindest nich transitiv und nicht reflexiv und nicht antisymmetrisch. :D \quoteoff True, wir hatten halt z. B. irreflexivität noch nicht. Wäre die Relation denn irreflexiv?


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tactac
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  Beitrag No.9, eingetragen 2022-11-05

\quoteon(2022-11-05 22:24 - ARandomStudent in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-11-05 22:09 - tactac in Beitrag No. 7) Na gut, streng genommen ist sie natürlich nicht nur symmetrisch. Sie hat durchaus darüberhinausgehende Eigenschaften. Aber sie ist zumindest nich transitiv und nicht reflexiv und nicht antisymmetrisch. :D \quoteoff True, wir hatten halt z. B. irreflexivität noch nicht. Wäre die Relation denn irreflexiv? \quoteoff Was würdest du denn sagen?


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ARandomStudent
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-05

\quoteon(2022-11-05 22:37 - tactac in Beitrag No. 9) \quoteon(2022-11-05 22:24 - ARandomStudent in Beitrag No. 8) \quoteon(2022-11-05 22:09 - tactac in Beitrag No. 7) Na gut, streng genommen ist sie natürlich nicht nur symmetrisch. Sie hat durchaus darüberhinausgehende Eigenschaften. Aber sie ist zumindest nich transitiv und nicht reflexiv und nicht antisymmetrisch. :D \quoteoff True, wir hatten halt z. B. irreflexivität noch nicht. Wäre die Relation denn irreflexiv? \quoteoff Was würdest du denn sagen? \quoteoff Würde sagen es ist irreflexiv, weil das ggT(a,a) immer 1 ist und somit 1<1 f. A., was heißt für alle aRa gilt nicht ggT(a,a)>1


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tactac
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  Beitrag No.11, eingetragen 2022-11-05

Richtig, R ist irreflexiv.


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ARandomStudent
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06

\quoteon(2022-11-05 22:57 - tactac in Beitrag No. 11) Richtig, R ist irreflexiv. \quoteoff Nice, vielen Dank nochmal!


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tactac
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  Beitrag No.13, eingetragen 2022-11-06

OMG! 😵 Ich bemerke jetzt erst: ggT(a,a) ist natürlich nicht 1 sondern a. R ist also nicht irreflexiv.


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ARandomStudent
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-09

\quoteon(2022-11-06 17:30 - tactac in Beitrag No. 13) OMG! 😵 Ich bemerke jetzt erst: ggT(a,a) ist natürlich nicht 1 sondern a. R ist also nicht irreflexiv. \quoteoff Oh oof, danke aber für den Hinweis!


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