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| Autor |
 Zeigen eines Dynkinsystems |
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Carly2004
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2022-11-05
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe, die mich Wahnsinnig macht.
Und zwar haben wir zwei Mengen G und H.
G ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger der Borelmenge und es gilt \sigma(G)\subset\ A
wobei A eine Sigma-Algebra ist.
H ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger der Borelmenge und es gilt \sigma(H)\subset\ A
Ich soll zeigen, dass \sigma(G)=G und \sigma(H)=H gilt.
In der Vorlesung hatten wir, das G\subset\ \sigma(G) bzw H\subset\ \sigma(H) gilt.
Und wenn G bzw H eine Sigma-Algebra ist, gilt die Gleichheit.
Da G und H durchschnittsstabil ist, wollte ich zeigen, dass G bzw H ein Dynkinsystem ist, aber da hatte ich direkt Probleme, wie zeige ich z.B. dass die Grundmenge E in G bzw H enthalten ist?
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Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 307
| Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-05
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Hallo,
was ist denn $E$ genau?
Ansonsten brauchst du vielleicht keine Idee, sondern musst einfach anfangen, und welche Idee dann gebraucht wird, wird sich zeigen.
Du sollst zeigen, dass $\sigma(G)=G$ und $\sigma(H)=H$.
Mir ist der Unterschied nicht klar, die Voraussetzungen sind doch in beiden Fällen gleich.
Vielleicht mal die komplette Aufgabenstellung posten.
Ansonsten ist $\sigma(G)=G$ ja eine Mengengleichheit.
Und die zeigt man immer gleich.
In der Vorlesung wurde die einige Inklusion gezeigt.
Deine Aufgabe ist es die andere zu zeigen, also $\sigma(G)\subseteq G$.
Der Beweis muss also so anfangen:
Sei $g\in\sigma(G)$
und so muss er enden:
Also ist $g\in G$.
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Carly2004
Wenig Aktiv
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06
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Die Aufgabe lautet:
Es sei (E, A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Zwei Mengensysteme B,C⊂A (B ist die Borelmenge und C die offene Menge) heißen unabhängig, falls
P(b∩c)=P(b)*P(c) für alle b∈B und c∈C gilt.
Wir sollen jetzt für B=σ(G) und C=σ(H), mit G und H durchschnittstabile Erzeuger zeigen, dass:
B, C sind unabhängig ⇔P(g∩h)=P(g)*P(h) für alle g∈G und h∈H gilt.
Damit dass gilt muss ich doch zeigen, dass G=σ(G) und H=σ(H) gilt oder etwa nicht?
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-06
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\quoteon(2022-11-06 00:35 - Carly2004 in Beitrag No. 2)
Damit dass gilt muss ich doch zeigen, dass G=σ(G) und H=σ(H) gilt oder etwa nicht?
\quoteoff
Nein. Du hast eine Eigenschaft, die für Erzeugendensysteme gilt, und sollst nun zeigen, dass diese auch für die erzeugten $\sigma$-Algebren gilt. Dafür ist es nicht notwendig, dass die Erzeugendensysteme selbst schon diese $\sigma$-Algebren sind.
Die typische Beweismethode ist hier das Prinzip der guten Mengen. Und da deine Erzeugendensysteme durchschnittsstabil sind, kannst du mit Dynkin-Systemen argumentieren.
--zippy
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Qing
Aktiv 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 307
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-11-06
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\showon Ich weiß nicht, ob du den Beitrag lesen musst, wenn du den von Zippy gelesen hast.
Von Wahrscheinlichkeitstheorie habe ich nicht so viel Ahnung, aber mit den Begriffen aus dem Startpost hat man ja auch in der Maß- und Integrationstheorie zu tun.
Das hier finde ich eigenartig:
\quoteon
Zwei Mengensysteme B,C⊂A (B ist die Borelmenge und C die offene Menge) heißen unabhängig, falls ...
\quoteoff
Ist das der originale Wortlaut? Ich kenne natürlich "stochastische Unabhängigkeit", die für zwei Ereignisse definiert ist. Hier will man dies wohl auf beliebige Mengen verallgemeinern. Also zwei Mengensysteme heißen (stochastisch) unabhängig, wenn für alle ELemente gilt...
Vielleicht ist hier die Notation etwas "überbelegt", weshalb du $B$ und $C$ hier anders interpretierst. (Etwa weil zuvor die Menge $\mathcal{B}$ als Borelmenge eingeführt wurde. Das muss dann hier nicht unbedingt weitergeführt werden)
Ich kann irgendwie nicht so ganz glauben, dass $B$ und $C$ hier tatsächlich so festgelegt sind.
Was ist auch im Kontext eines Wahrscheinlichkeitsraumes eine offene Menge (bzw. die Menge alle offenen Mengen). Dazu bräuchte man ja eine Topologie.
Bei der Borelmenge genau das gleiche.
\quoteon
B, C sind unabhängig ⇔P(g∩h)=P(g)*P(h) für alle g∈G und h∈H gilt.
Damit dass gilt muss ich doch zeigen, dass G=σ(G) und H=σ(H) gilt oder etwa nicht?
\quoteoff
In der Aufgabe zeigt man, dass es reicht die Eigenschaft auf Erzeugern nachzuprüfen.
Die Richtung "$\Rightarrow$" der Äquivalenz ist klar. Warum?
Die andere Richtung erinnert dann eben stark an ein sogenanntes Dynkin-System-Argument:
Sei $(\Omega,\mathfrak{A})$ ein messbarer Raum und $\mathcal{E}$ ein schnittstabiler Erzeuger von $\mathfrak{A}$.
Sei ferner $(H)$ eine Aussage über die Elemente von $\mathfrak{A}$ mit Gültigkeitsbereich $\mathcal{D}:=\{A\in\mathfrak{A}:\text{ A erfüllt (H)}\}$.
Dann folgt: Ist $\mathcal{D}$ ein Dynkin-System und $\mathcal{E}$ enthalten in $\mathcal{D}$, so gilt $(H)$ für alle $A\in\mathfrak{A}$.
(Also $\mathcal{D}=\mathfrak{A}$)
In diesem Fall handelt es sich aber um eine Aussage zweier Mengen, also das Produkt.
Du müsstest die Eigenschaft ja für Paare $(g,h)\in G\times H$ prüfen.
Jetzt müsste ich nachgucken wie das mit der Produkt-Sigma-Algebra war, wenn man diese für schnittstabile Mengen bildet, aber bin gerade zu müde, bzw. müsste ich selber etwas genauer darüber nachdenken, bevor ich mehr sagen kann.
In jedem Fall halte ich die Aufgabenstellung nach wie vor für etwas ausbaufähig.
Vielleicht reichen dir aber diese Gedankenfetzen schon um alleine weiterzukommen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]\showoff
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Carly2004
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06
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Also muss ich zeigen, dass H und G ein Dynkin-System ist?
Aber wie zeige ich dann zum Beispiel, dass E in G bzw H liegt?
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-11-06
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\quoteon(2022-11-06 02:08 - Carly2004 in Beitrag No. 5)
Also muss ich zeigen, dass H und G ein Dynkin-System ist?
\quoteoff
Nein. Wenn $G$ und $H$ Dynkinsysteme wären, wären sie ja – weil sie auch durchschnittsstabil sind – schon $\sigma$-Algebren, und es wäre $\sigma(G)=G$ und $\sigma(H)=H$. Aber:
\quoteon(2022-11-06 01:14 - zippy in Beitrag No. 3)
Dafür ist es nicht notwendig, dass die Erzeugendensysteme selbst schon diese $\sigma$-Algebren sind.
\quoteoff
Schau die nochmal den verlinkten Artikel zum Prinzip der guten Mengen an. So eine Argumentation wird sicher auch in eurer Vorlesung schon mal vorgekommen sein.
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Carly2004
Wenig Aktiv
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06
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Also ich habe ja die σ-Algebra B und C über die Grundmenge E. Die Eigenschaft ist ja dann: P(B\cut\ C)=P(B)*P(C)
Muss ich dann zeigen, dass G bzw H alle Teilmengen von E oder alle Elemente von B bzw C enthält?
Und wie mache ich das?
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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| Beitrag No.8, eingetragen 2022-11-06
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\quoteon(2022-11-06 18:17 - Carly2004 in Beitrag No. 7)
Die Eigenschaft ist ja dann: P(B\cut\ C)=P(B)*P(C)
\quoteoff
Nein. Die Eigenschaft ist $P(b\cap c)=P(b)\cdot P(c)$ für alle $b\in B$ und $c\in C$. Du hast diese Aussage doch selbst in Beitrag Nr. 2 hingeschrieben.
\quoteon(2022-11-06 18:17 - Carly2004 in Beitrag No. 7)
Muss ich dann zeigen, dass G bzw H alle Teilmengen von E oder alle Elemente von B bzw C enthält?
\quoteoff
Nein:
* Wenn $G$ und $H$ alle Teilmengen von $E$ enthalten würden, müssten $B$ und $C$ ja die volle Potenzmenge von $E$ sein. Davon ist aber nicht die Rede.
* Wenn $G$ und $H$ alle Elemente von $B$ bzw. $C$ enthalten würden, wäre $\sigma(G)=G$ und $\sigma(H)=H$. Und darüber, dass das nicht notwendigerweise gilt, hatten wir ja schon mehrfach gesprochen.
Wenn du nach dem Prinzip der guten Mengen vorgehst und dabei ausnutzt, dass $G$ und $H$ durchschnittsstabil sind, musst du zeigen, dass die Mengen $x\in B$ und $y\in C$ mit $P(x\cap y)=P(x)\cdot P(y)$ jeweils ein Dynkin-System bilden.
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Carly2004
Wenig Aktiv
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-06
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Also D2, bzw D3 konnte ich zeigen, bei D1 bin ich mir unsicher.
Ich habe zunächst D:={x\el\ B:P(x\cut\ y)=P(x)*P(y)\forall\ y\el\ C}
definiert.
Dann erhalte ich doch für P(E\cut\ y)=P(y)=1*P(y)=P(E)*P(y)
oder?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4607
| Beitrag No.10, eingetragen 2022-11-06
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Ich habe zwar keine Ahnung, in welcher Reihenfolge D1, D2 und D3 bei dir die Eigenschaften eine Dynkin-Systems durchzählen, aber dein Argument, dass $E$ dazugehört, ist richtig.
Bei der Definition der Mengensysteme, die sich dann als Dynkin-Systeme herausstellen sollen, musst du übrigens aufpassen, welche $x$ du mit welchen $y$ kombinierst. Wenn du gleich $D=\{x\in B:
\forall y\in C.P(x\cap y)=P(x)\cdot P(y)\}$ setzt, weißt du z.B. noch nicht einmal, dass $G\subseteq D$ ist.
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