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 Abschätzung für Matrixnorm |
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Graufuchs
Junior 
Dabei seit: 29.09.2022
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2022-11-06
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Ich soll folgendes zeigen:
Gegeben ist eine reelle nxn Matrix A, welche symmetrisch und positiv definit ist. B ist eine reelle nxn Matrix die symmetrisch ist.
Wenn nun gilt, dass B+a*A und B-a*A positiv semidefinit sind für ein a>0, dann folgt daraus, dass die Norm von A^(-1/2)*B*A^(-1/2) kleiner oder gleich a ist.
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Für Hilfe wäre ich wirklich sehr dankbar!
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-11-07
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Moin Graufuchs,
\quoteon(2022-11-06 10:17 - Graufuchs im Themenstart)
Ich soll folgendes zeigen:
Gegeben ist eine reelle nxn Matrix A, welche symmetrisch und positiv definit ist. B ist eine reelle nxn Matrix die symmetrisch ist.
Wenn nun gilt, dass B+a*A und B-a*A positiv semidefinit sind für ein a>0, dann folgt daraus, dass die Norm von A^(-1/2)*B*A^(-1/2) kleiner oder gleich a ist.
\quoteoff
Das wird schwierig werden, da diese Aussage falsch ist. Betrachte etwa $A = B = E_n$ mit der $n \times n$-Einheitsmatrix $E_n$ sowie $a = 1/2$. Dann sind $B+aA = 3/2 E_n, B-aA = 1/2 E_n$, also sind alle Voraussetzungen erfüllt, aber die Norm (ich gehe aus dem Kontext davon aus, dass es um die Spektralnorm geht) von $A^{-1/2} B A^{-1/2} = E_n$ ist gleich $1 > 1/2 = a$.
Würde man hingegen die positive Semidefinitheit von $aA+B$ und $aA-B$ voraussetzen, so würde die Aussage gelten. Deswegen von meiner Seite hier die Nachfrage, ob die Aufgabenstellung auch korrekt wiedergegeben ist?
LG,
semasch
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Graufuchs
Junior
Dabei seit: 29.09.2022
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-07
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Hallo semasch,
schon mal vielen Dank für die Antwort. Du hast absolut recht, da hat sich von meiner Seite ein Fehler eingeschlichen - tut mir sehr leid!
In der Aufgabenstellung wird, wie du auch schon vermutet hast, die positive Semidefinitheit von a*A+B und a*A-B vorausgesetzt.
Wegen der Norm: um welche Norm es sich handelt wird in der Aufgabe nicht erwähnt. Ich bin auch davon ausgegangen, dass es sich um die Spektralnorm handelt, da wir in den vorangegangenen Vorlesungen immer mit dieser bei Matrizen gearbeitet haben.
LG Graufuchs
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semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
| Beitrag No.3, eingetragen 2022-11-07
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Alles klar, ja, bei Differenzen ist auf die Reihenfolge der Operanden aufzupassen, anders als (typischerweise, wenn nämlich die zugrundeliegende Addition kommutativ ist) bei Summen, weil es eben die Bedeutung doch deutlich verändern kann.
Überlege dir und begründe (mit bekannten Theoremen) bzw. zeige in diesem Fall das Folgende:
(i) Die Matrix $C_{\pm} := aE_n \pm A^{-1/2} B A^{-1/2}$ ist zu $aA \pm B$ kongruent und also ebenfalls symmetrisch (und damit diagonalisierbar) sowie positiv semidefinit.
(ii) Es ist $\sigma(C_{\pm}) = a \pm \sigma(A^{-1/2} B A^{-1/2})$.
(iii) Aus (i) und (ii) folgt, dass $-a \le \sigma(A^{-1/2} B A^{-1/2}) \le a$ und damit die gewünschte Aussage.
LG,
semasch
Edit: Beitrag stark geändert, also schau ihn dir vielleicht nochmal genau an.
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Graufuchs
Junior
Dabei seit: 29.09.2022
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2022-11-07
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Wow, bin begeistert, hat geklappt. Vielen, vielen Dank für die Hilfe! :)
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semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 445
Wohnort: Wien
| Beitrag No.5, eingetragen 2022-11-07
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Super, das hört man gerne 👍
LG,
semasch
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| Graufuchs hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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